Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

Непрерывность функции многих переменных

.Дальнейшие свойства непрерывных функций.

Определение сложной функции или суперпозиции. Пусть задано отображение x = j(t) из TÌ Rm в множество X пространства Rn и отображение u = f(x) из X в R.

u = f(x) , xÎXÌRn, x = j(t), tÎTÌRm . Свойства дифференцируемых функций Четыре теоремы о дифференцируемых функциях Правило Лопиталя

В результате последовательного выполнения этих двух отображений получим сложное отображение или функцию:u = f(j(t)), действующую из T в R.

Теорема (о непрерывности сложной функции). Пусть u = f(x) определена в U(x0) и непрерывна в точке x0, функция j(t) определена в U(t0), непрерывна в t0, x0 = j(t0). Тогда в некоторой окрестности t0 существует сложная функция f(j(t)) непрерывная в точке t0.

Доказательство. Как уже ранее отмечалось, непрерывность функции j(t) в точке t0 означает, что

"e > 0 $d>0: r(t, t0)<d Þ r(j(t), j( t0)) < e .

Механические приложения Пластина имеет форму прямоугольника со сторонами длиной и . Найти массу этой пластины, если ее плотность распределения массы в произвольной точке равна квадрату расстояния от точки до одной из вершин пластины.

Вычисление площади криволинейной поверхности.

Вначале докажем существование суперпозиции в некоторой окрестности точки t0. Пусть f(x) определена в Ua(x0), тогда для a $h>0: r(t, t0)< h Þ r(j(t), j( t0)) < a. Следовательно, в окрестности Uh(t0) будет определена суперпозиция f(j(t)). Докажем ее непрерывность. Пусть e > 0 для него

$g>0: r(x, x0)< g Þ |f(x) – f(x0)| < e .

В свою очередь, для h

$d>0: r(t, t0)<d Þ r(j(t), j( t0)) < h .

Откуда следует, что при r(t, t0)<d будет выполнено неравенство |f(j(t)) – f(j( t0))| < e , ч.т.д.

Следствие. Пусть f(x) непрерывна на открытом множестве D Ì Rn и g :x=j(t),tÎ[a,b] – непрерывная кривая, лежащая в D. Тогда сложная функция F(t)= f(j(t)) непрерывна на [a,b].

Замечание. Если для функции многих переменных зафиксировать все переменные кроме одного, то мы получим функцию одного переменного. В этом случае можно говорить о непрерывности по одному переменному. Легко показать. что если функция непрерывна, то она будет непрерывной по каждому из переменных. Обратное утверждение не верно.

Определение. Множество DÌRn называется связным, если любые его две точки можно соединить непрерывной кривой. целиком лежащей в D .

Теорема (о промежуточных значениях непрерывной функции на связном множестве). Пусть D открытое, связное множество и f(x) непрерывна на D, f(a)=A, f(b)=B, a,bÎD. Тогда для любого CÎ[A,B] существует cÎD: f(c)=C.

Доказательство. По определению связного множества существует непрерывная кривая, лежащая в D , обозначим ее x = j(t),tÎ[a,b], такая, что j(a)=a, j(b)=b. По ранее доказанной теореме суперпозиция F(t)= f(j(t)) представляет собой непрерывную на [a,b] функцию одного переменного. По теореме о промежуточных значениях непрерывной функции существует xÎ[a,b]: F(x)=C. таким образом, точка c=j(x) будет искомой.

Терема 1 (Вейерштрасс). Непрерывная на компакте функция ограничена на этом компакте.

Доказательство. От противного.

" k$ xkÎD:|f(xk)|>k (*) .

Последовательность {xk} – ограничена, так как D компакт, поэтому из нее по теореме Больцано-Вейерштрасса можно выбрать сходящуюся подпоследовательность {}® x0. Из замкнутости D точка x0Î D. Из непрерывности функции следует, что f()® f(x0). Из (*) следует (|f()|>km), что f()® ¥ . Полученное противоречие доказывает теорему.

Терема 2 (Вейерштрасс). Непрерывная на компакте функция достигает своих точных граней.

Доказательство. Докажем для верхней грани. Из определения M=sup f(x) для

"k $ xk: M-1/k < f(xk) £ M (**) .

Последовательность {xk} – ограничена, так как D компакт, поэтому из нее по теореме Больцано-Вейерштрасса можно выбрать сходящуюся подпоследовательность {}® x0. Из замкнутости D точка x0Î D. Из непрерывности функции следует, что f()® f(x0). Из (**) следует (M-1/km < f() £ M), что f()® M и , таким образом, f(x0) = M ч.т.д..

Пример 45. Вычислить интеграл

Решение. Введем подстановку  тогда    при   при   Получим интеграл

Пример 46. Вычислить интеграл

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию

Обозначим  тогда   при   при   Подставляя полученные результаты в данный интеграл, получим

 

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач