Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике Индивидуальные культурные экскурсии от ТФ Лауда знакомят со всеми известными столичными памятниками.

Функции многих переменных

Критерий Коши существования конечного предела.

Для существования конечного предела   необходимо и достаточно, чтобы

"e>0$d>0"x¢,x¢¢ÎDÇ :|f(x¢¢)-f(x¢)|<e.

Доказательство проводится так же, как и для функции одного переменного. Использование непрерывности функций при вычислении пределов

Необходимость. e>0,e/2®$ "xÎÇD:|f(x)-A|<e/2. Для x¢,x¢¢ÎÇD получим требуемое неравенство |f(x¢)-f(x¢¢)|<|f(x¢)-A|+|f(x¢¢)-A|e/2+e/2=e.

Достаточность. Пусть {xk} последовательность типа Гейне. Тогда {f(xk)} Некоторые свойства интеграла ФНП

будет удовлетворять условию Коши для последовательностей, поэтому существует некоторый предел . Докажем, что для любой другой последовательности типа Гейне {yk} как в Гейне предел будет также равен B. Составим последовательность

Эта последовательность будет последовательностью типа Гейне и, как уже доказано, предел  должен существовать. Тогда все частичные пределы должны совпадать, в частности, =.

Пример 25. Найти интеграл

Решение. Степень многочлена числителя равна двум, а знаменателя – четырем. Разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби:

Приводя к общему знаменателю и приравнивая числители, получим:

Для нахождения неопределенных коэффициентов воспользуемся методом частных значений аргумента придавая ему четыре различных значения (так как требуется найти четыре коэффициента):

при   получим  

при    

при      

при     

  

Решим систему уравнений:

Получили 

Подынтегральная функция примет вид:

Проинтегрируем правую часть полученного равенства, используя свойства и таблицу неопределенных интегралов:

 

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач