Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

n – мерное евклидово пространство Основные определения

Неравенство Коши-Буняковского Третий способ задания функции: указание процедуры вычисления Непрерывность функций и точки разрыва

.

Величина  - называется скалярным произведением и обозначается (x,y). Величина  называется нормой и обозначается ||x||.

Используя это обозначение неравенство Коши-Буняковского можно записать в виде. Понятие предела функции многих переменных (сокр. ФНП) вводится в предельной точке области определения функции.

|(x,y)|£||x|| ||y||.

В пространстве R2 введем операции сложения между элементами этого множества и операцию умножения на вещественные числа по правилам:

x + y =(x1+ y1,x2+ y2,…,xn+ yn),

l x = (lx1, lx2,…, lxn), где x = (x1,x2,…,xn), y = (y1,y2,…,yn). (2)

Доказательство неравенства Коши-Буняковского.

0 £ ||x+ly||2==

||x||2+2l(x,y)+l2||y||2=al2+2lb+c.

Так как это неравенство (al2+2lb+c ³ 0) справедливо для всех l , то для дискриминанта квадратного трехчлена будет выполнено неравенство b2 – ac £ 0, или (x,y)2£ ||y||2 ||x||2, откуда и следует требуемое утверждение.

Теорема. Для нормы справедливо неравенство ||x+y|| £ ||x|| + ||y||.

Доказательство.||x+y||2 = £

£ ||x||2+2 ||x|| ||y||+ ||y||2=(||x||+||y||)2.

Свойства нормы.

||x||³0, ||x||=0Û x=0 (x= (0,0,…,0))

||lx|| = |l| ||x||

||x+y||£ ||x||+||y||.

Свойства скалярного произведения.

(x,x)³0, (x,x)=0Û x=0 (x= (0,0,…,0))

(x,y)=(y,x)

(lx,y)=l(x,y)

(x+y,z)=(x,z)+(y,z).

Определение. Пространство Rn со скалярным произведением (x,y) будем называть евклидовым пространством.

Отметим, что между введенными понятиями, расстоянием, нормой и скалярным произведением имеются следующие равенства: r(x,y)=||x - y||, (x,x)=||x||2.

Доказательство неравенства треугольника для расстояния. r(x,y)=||x-y||=||x-z+z-y||£||x-z||+||z-y||=r(x,z)+ r(z,y).

Пример 31. Найти интеграл

Решение. Воспользуемся методом подстановки, обозначив  так как наименьшее общее кратное показателей корней два и четыре, тогда  

Подставляя в данный интеграл, получим:

Получили подынтегральную функцию, которая является неправильной рациональной дробью. Выделим целую часть, а для этого разделим многочлен числителя на многочлен знаменателя:

 

Таким образом

Подставим в последний интеграл полученную функцию и проинтегрируем:

Возвращаясь к данному интегралу и переменной интегрирования  получим:

Интегрирование тригонометрических функций

Рассмотрим некоторые случаи нахождения интеграла от тригонометрических функций. Функцию с переменными  и над которыми выполняются рациональные действия (сложение, вычитание, умножение и деление) принято обозначать  где знак рациональной функции.

Вычисление неопределенных интегралов типа сводится к вычислению интегралов от рациональной функции подстановкой которая называется универсальной.

Действительно, 

Поэтому

где рациональная функция от Обычно этот способ весьма громоздкий, зато он всегда приводит к результату.

 

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач