Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

n – мерное евклидово пространство Основные определения

Метрика. Расстояние.

Рассмотрим всевозможные упорядоченные пары из n- вещественных чисел

x = (x1,x2,…,xn). Второй способ задания функции: с помощью формулы Непрерывность функций и точки разрыва

Пользуясь геометрической терминологией x будет называться точкой. Для случаев n=1,2,3 мы имеем дело с точками на прямой, плоскости и в пространстве, соответственно. xk – называются координатами точки. Для двух точек x = (x1,x2,…,xn), y = (y1,y2,…,yn) величина

r(x,y)= (1)

называется расстоянием между этими точками. Фундаментальными свойствами расстояния являются следующие три свойства.

" x,y :r(x,y) ³ 0, r(x,y) = 0 Û x = y Теорема необходимое условие существования определенного интеграла

" x,y :r(x,y) = r(y,x)

" x,y,z :r(x,y) £ r(x,z) + r(z,y) (неравенство треугольника)

Первые два свойства очевидны, третье свойство будет доказано позже. Множество всевозможных точек x с расстоянием r(x,y), удовлетворяющим свойствам 1)-3) называется метрическим пространством. Обозначим это пространство Rn.

 

Пример 30. Найти интеграл

Решение. Воспользуемся подстановкой  тогда Получим интеграл:

Воспользуемся еще раз подстановкой: тогда Подставляя полученные выражения в последний интеграл, получим:

Вернемся к данному интегралу и исходной переменной интегрирования

Если подынтегральная функция содержит иррациональности разных показателей корней, тогда подстановка где наименьшее общее кратное показателей корней, сводит интеграл к интегралу от рациональной функции.

 

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач