Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

Несобственные интегралы

Свойства несобственных интегралов. Функции Эйлера.

Гамма функция Эйлера G(p)=, p > 0 . Производные и дифференциалы высших порядков Математика лекции примеры решения задач

Для доказательства сходимости интеграла отметим, что в окрестности 0 подинтегральная функция эквивалентна функции , интеграл от которой сходится при 1- p < 1 ( p > 0 ). В окрестности +¥ , подинтегральную функцию можно сравнивать с функцией  (имеющей сходящийся интеграл), . Здесь следует сослаться на один из предельных признаков сравнения для несобственных интегралов и тот факт, что

, при p > 0. Примеры задач типовых расчетов по Кузнецову Вычисление интегралов изменить порядок интегрирования

Легко проверить, что G(1) = 1 (вычислить интеграл), G(p+1) = pG(p). Последнее равенство следует из формулы интегрирования по частям

G(p)== G(p+1).

Бета функция Эйлера B(p,q)=, p > 0, q > 0 .

 

Интегрирование рациональных функций

Пример 19. Найти интеграл

Решение. Воспользуемся свойством 4 неопределенных интегралов и равенством (1.5):

пусть  тогда  поэтому

Таким образом

Пример 20. Найти интеграл

Решение. Обозначим     тогда получим

Следовательно

 

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач