Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

Несобственные интегралы

Свойства несобственных интегралов.

Формула замены переменного Лекции матан Математика лекции примеры решения задач

Пусть f(x) непрерывна на [a,b) (b - число или символ +¥), j(t) – непрерывно-дифференцируема и строго монотонно возрастает на [a,b), a < b £ ¥, причем a = j(a), , тогда

.

Доказательство. В силу строгой монотонности функции j(t) для "RÎ[a,b)$r:j(r)=R. Далее следует перейти к пределу в равенстве

, (r®b, R®b). Примеры задач типовых расчетов по Кузнецову Графики функции Построить графики функций с помощью производной первого порядка.

Замечание 1. В формуле замены переменной функция j может быть строго монотонно убывающей. Тогда в формулировке теоремы появятся соответствующие изменения j(b)=a, , .

Замечание 2. Формула замены переменного справедлива и без условия монотонности функции j.

Замечание 3. Несобственный интеграл I – рода может быть подходящей заменой сведен к несобственному интегралу II – рода и наоборот.

Пример. .

При таких заменах вновь полученный интеграл может оказаться собственным.

Пример. .

Пример 18. Найти интеграл

Решение. Дан интеграл третьей группы. Пусть   тогда    (согласно равенству (1.5)).

По формуле (1.6) получим

Как видим, в последнем интеграле в сравнении с данным интегралом одна из функций изменилась на кофункцию, то есть  на  Как было сказано ранее, к интегралам третьей группы метод интегрирования по частям применяется два раза, поэтому, решая последний интеграл, положим   тогда  

Используя формулу (1.6), последний интеграл примет вид:

Вернемся к данному интегралу

Последний интеграл совпадает с исходным интегралом. Таким образом мы получили алгебраическое уравнение с неизвестным интегралом

Решим это уравнение относительно исходного интеграла:

   тогда

Если при отыскании второго интеграла выбрать  и  иначе:   то получим   

Возвращаясь к данному интегралу, получим

Получили бесполезное тождество.

 

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач