Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

Несобственные интегралы

Свойства несобственных интегралов. Примеры задач типовых расчетов по Кузнецову Задача . Составить уравнение нормали (в вариантах 1-12) или уравнение касательной (в вариантах 13-31) к данной кривой в точке с абсциссой .

Интегрирование по частям.

Простейшие свойства несобственных интегралов.

Сходимость ,  Þ сходимость  (a,b - константы), при этом

=+.

Интегрирование по частям. Если u(x), v(x) непрерывно дифференцируемы на [a,+¥) и существуют какие-либо два из трех выражений

, , , Примеры решения задач Математика лекции

то существует и третье и

= -.

Доказательство. Перейти к пределу при R®¥ в равенстве для собственных интегралов = -.

Аналогичные свойства имеет место для несобственных интегралов второго рода.

Пример 17. Найти интеграл

Решение. Так как дан интеграл второй группы, положим   тогда   

Воспользуемся формулой интегрирования по частям:

Последний интеграл находим отдельно. Применим к нему метод подстановки. Обозначим   тогда   отсюда  Подставляем в подынтегральное выражение последнего интеграла, находим полученный новый интеграл и возвращаемся к заданной переменной

Возвращаясь к данному по условию интегралу, получаем:

Здесь модуль выражения  заменен скобками, так как это выражение при любых значениях  положительно.

 

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач