Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

Несобственные интегралы

Критерий Коши сходимости несобственного интеграла. Простейшие признаки сходимости. Правило Лопиталя Математика лекции примеры решения задач

Теорема (Критерий Коши). Для сходимости интеграла   необходимо и достаточно, чтобы "e>0$M"R¢,R¢¢:<e.

Эта теорема непосредственно следует из критерия Коши существования конечного предела  ("e>0$M"R¢,R¢¢ >M:|F(R¢¢)-F(R¢)|<e).

Теорема 1 (Простой признак сравнения для несобственного интеграла от неотрицательных функций). Если 0£ f(x) £ g(x) , то

сходится Þ сходится

расходится Þ расходится

Доказательство. Утверждение непосредственно следует из соотношений Теорема о достаточных условиях дифференцируемости ФНП в точке

.

Следствие 1. Если f(x)³ 0, g(x)³ 0 и f(x)=O(g(x)), x®¥, то

сходится Þ сходится

расходится Þ расходится .

Следствие 2 (Предельный признак сравнения). Если f(x)³ 0, g(x)> 0 ,, то

если 0<k<+¥, то поведение интегралов , в смысле сходимости эквивалентно.

если k=0, то сходимость Þ сходимость .

если k=¥, то расходимость Þ расходимость .

Доказательство. По определению предела для заданного e для достаточно больших x будут выполнены неравенства

 или

 (1)

В первом случае утверждение следует из доказанной теоремы и неравенств (1), если взять e=k/2. В случае k=0 следует рассмотреть правое неравенство из (1) для какого-нибудь e, например, e=1.

Теорема 2.

Если 0 £ f(x)£ для всех x, 0 < a £ x <+¥ , где c > 0 , p > 1 , то интеграл сходится.

Если f(x)³ для x, 0 < a £ x <+¥ и c > 0, p£ 1 , то интеграл расходится.

Утверждение следует из простого признака сравнения.

Теорема 3 ( Второй предельный признак сравнения). Если существует , (0 < k < +¥), то

при p > 1 интеграл  сходится,

при p £ 1 интеграл расходится.

При k = 0 и p > 1 интеграл сходится, при k = +¥, p £ 1 интеграл расходится.

Утверждение теоремы следует из первого предельного признака сравнения.

Замечание. Аналогичные утверждения (Теоремы 1-3 и следствия имеют место для интегралов вида .

Пример 11. Найти интеграл

Решение. Берем подстановку   дифференцируем обе части равенства     а так как  тогда  Получаем:

Пример 12. Найти интеграл

Решение. Беря подстановку  получаем  

Подставляем в подынтегральное выражение, интегрируем и возвращаемся к переменной

  Пример 13. Найти интеграл

Решение. Полагаем  тогда      Подставляем в подынтегральное выражение и интегрируем:

Выделим целую часть подынтегральной функции:

тогда 

Найдем  Для этого введем новую переменную    Полученные результаты подставим в подынтегральное выражение и проинтегрируем:

Возвращаясь к данному интегралу, получаем:

Выбор удачной формулы (подстановки) для замены переменной имеет большое значение. Вместе с тем дать одно общее правило для выбора хорошей подстановки невозможно. Освоить применение этого метода интегрирования можно только одним способом – решая как можно больше примеров.

 

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач