Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

Несобственные интегралы

Несобственный интеграл первого рода

1.Определение интеграла по бесконечному промежутку. Дифференциалы высших порядков ФНП Пусть в области , , задана произвольная ФНП , , имеющая непрерывные частные производные первого порядка.

Пусть функция f(x) определена на [a,¥) и интегрируема на любом [a,R].

Символ  называется несобственным интегралом второго рода. Интеграл сходится, если существует конечный предел

=.

В противном случае он называется расходящимся. Элементы теории кривых Математика лекции примеры решения задач

Если a<b , то интегралы ,  сходятся или расходятся одновременно. Это следует из свойства аддитивности интеграла по множеству

=+. Аналогично определяется интеграл

=.

Если f(x) определена и интегрируема на любом [a,b] и существуют интегралы ,  , то величина+не зависит от выбора c.

При выполнении этих условий определяется интеграл

=+,

где c некоторое число.

Замечание. Из указанных свойств несобственного интеграла следует свойство аддитивности интеграла по множеству.

Пусть по прежнему f(x) определена и интегрируема на любом [a,b]. Главным значением интеграла по Коши называется величина

V.P. =.

Теорема. Если существует , то V.P. =.

Обратное неверно. Пример. V.P.=0, в то время, как интеграл  расходится.

Пример. Интеграл сходится при p>1, расходится в противном случае.

Пример 9. Найти интеграл

Решение.

Пусть     

тогда получим

Пример 10. Найти интеграл

Решение. Обозначим  тогда  дифференцируем обе части равенства,    

 

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач