Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

Вычисление объемов и площадей боковых поверхностей тел вращения

Первая теорема Гюльдена. Вычислить предел Математика лекции примеры решения задач

Предположим, что масса mk расположена на расстоянии yk от оси ox. Статический момент материальной точки массы m относительно оси ox равен yk mk . Статические моменты системы из n точек относительно осей ox, oy равны

Mx=, My= 

Центр тяжести системы – это точка, обладающая следующим свойством: если в эту точку поместить сосредоточенную массу системы, то статический момент этой точки относительно любой оси совпадает со статическим моментом всей системы относительно этой оси. В частности, выпишем равенство статических моментов дискретной системы относительно осей ox, oy.

XM=,YM=, M=

X=, Y= (3) Теорема о существовании всех частных производных ФНП

Если масса распределена вдоль кривой g :x=x(s),y=y(s), параметризованной длиной дуги и имеющей линейную плотность распределения r(s), то соотношения (3) для координат центра тяжести примут интегральный вид

, Y=  (4)

Если положить r(s)=1, то из равенства соотношения получим

2pYl=2p=m(g).

Последнее соотношение означает, что площадь поверхности, полученной вращением кривой вокруг оси с равномерно распределенной массой, равна длине этой кривой, умноженной на длину окружности, описанной центром тяжести этой кривой (первая теорема Гюльдена).

Пример. Пересчитать площадь поверхности тора по теореме Гюльдена.

 

Пример 24. Найти интеграл

Решение. Подынтегральная функция является правильной рациональной дробью (степень многочлена числителя, равная единице, меньше степени многочлена знаменателя, равной двум), причем знаменатель дроби разложен на не повторяющиеся множители, имеющие действительные корни.

Разложим данную дробь  на простейшие дроби:

Приведем дроби к общему знаменателю, а затем приравняем многочлены в числителях справа и слева:

 

Приравнивая коэффициенты при  и (свободный член), получим систему уравнений для определения коэффициентов:

 

Тогда данная дробь примет вид:

Подставляя правую часть последнего равенства в данный интеграл, получим:

 

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач