Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

Вычисление объемов и площадей боковых поверхностей тел вращения

Площадь поверхности вращения. Задачи по Кузнецову Математика лекции примеры решения задач

В этом пункте мы определим площадь поверхности вращения, опираясь на базовое понятие площади боковой поверхности кругового конуса.

Площадь боковой поверхности конуса (см. рис. 2_11_31.swf) равна p RL , где L – образующая конуса, а R – радиус направляющей окружности (радиус основания). На основании этой формулы получается формула для боковой поверхности усеченного конуса (см.рис. 2_11_32.swf)

.

Рассмотрим кривую g, являющуюся графиком непрерывной функции f(x)³0, определенной на [a,b]. Пусть S поверхность, полученная вращением g вокруг оси ox. Для заданного разбиения D={a=x0<x1<…<xn=b} обозначим через L(x) ломаную с узлами Ak = (xk , yk)= (xk , f(xk)), вписанную в кривую g. Через lk обозначим длину хорды Ak , Ak+1 (см. рис. 2_11_33.swf). При вращении ломаной L(x) получится поверхность, составленная из боковых поверхностей усеченных конусов, каждая из которых будет равна длине окружности, описанной средней линией на длину хорды . Общая поверхность будет равна

P(D)=2p (1) Дифференцируемость ФНП

Определение. Если существует предел ( не зависящий от выбора D) при l(D)®0, то поверхность вращения называется квадрируемой и этот предел называется ее площадью.

Определение на кванторах

$S"e>0$d>0"D,l(D)<d:|P(D)-S|<e

Теорема. Если f(x) непрерывно-дифференцируема на [a,b], то указанный поверхность квадрируема и ее площадь равна

. труба профильная цена за метр

Доказательство. Для длины хорды имеем

 (2).

  Тогда

S-P(D)=2p -2p +

+2p -=

=2p - 2p +

+p +p .

Второе слагаемое (вычитаемое) в этом выражении 2pявляется интегральной суммой для интеграла , где xk выбраны согласно (2). Поэтому при l(D)®0 разность 2p -2p  стремится к нулю в силу существования интеграла. Каждое из слагаемых

p  , p

будет стремиться к нулю в силу равномерной непрерывности функции f(x) на отрезке [a,b] и ограниченности функции  на отрезке [a,b] (первая теорема Вейерштрасса).

Замечание 1. Если кривая задана параметрически

, непрерывно дифференцируема

  и вращение происходит вокруг оси ox , то поверхность квадрируема и ее площадь вычисляется по формуле

.

Доказательство. Вначале кривая разбивается на участки строгой монотонности функции x(t) (предполагаем, что таких участков конечное число). Пусть это будет разбиение D={a=t0<t1<…<tn=b}. Положим для краткости xk=x(tk). На каждом участке ( в силу строгой монотонности) для x(t) существует обратная функция t=t(x), xÎ[xk,xk+1],k=0,…,n-1. Таким образом, имеется n однозначных ветвей: y=f(x)=y(t(x)), xÎ[xk,xk+1],k=0,…,n-1. Площадь поверхности, полученной вращением k-ой ветви равна  после замены переменного x=x(t) этот интеграл будет равен . Здесь использованы следующие равенства f¢(x)=(y(t(x))¢=, dx=. Отсюда и следует требуемое соотношение.

Замечание 2. Если в параметрическом задании кривой в качестве параметра взять длину дуги, то после замены переменного получим выражение для площади поверхности вращения следующего вида

, l – длина всей кривой.

Пример. Площадь поверхности тора (см. рис. 2_11_34.swf).

Пример 23. Найти интеграл

Решение. Подынтегральная функция представляет собой неправильную рациональную дробь, поэтому сначала выделим целую часть данной функции, деля числитель на знаменатель:

Таким образом  Интегрируем каждое слагаемое отдельно:

Последний интеграл найдем отдельно. Для этого выделим полный квадрат 

Введем новую переменную    тогда получим интеграл:

Разложим полученный интеграл на сумму двух интегралов:

Здесь мы использовали формулу (1.4).

Следовательно,

Возвращаясь к данному интегралу, окончательно получаем

 

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач