Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

Вычисление объемов и площадей боковых поверхностей тел вращения

Объем тела вращения Тройные интегралы Математика лекции примеры решения задач

Теорема. Если f(x)³ 0 непрерывна на [a,b] , то тело, полученное вращением графика функции вокруг оси x кубируемо и его объем равен

  Доказательство. Для заданного e рассмотреть достаточное мелкое разбиение D={a=x0<x1<…<xn=b} и два ступенчатых тела на основании сумм Дарбу исходной функции, составленных из круговых цилиндров высотой xk+1 - xk и радиусов mk=, Mk=. Объем этих тел будут равны s(F,D), S(F,D), F(x)=p f 2(x) . Одна из этих кубируемых областей будет вписана в тело вращения, а другая описана. Разность объемов можно сделать сколь угодно малой, что следует из интегрируемости функции F(x).

Справедлива более общая теорема (без доказательства). Связь математической статистики с теорией вероятности

Теорема. Если область D проектируется на отрезок [a,b] оси x и любое сечение этой области плоскостью перпендикулярной оси x квадрируемо, а площадь этого сечения S(x) является интегрируемой функцией, то исходная область кубируема и ее объем равен

mD=

(см. рис. 2_11_2.swf)

Пример 21. Найти интеграл 

Решение. Рассмотрим квадратный трехчлен, стоящий в знаменателе подынтегральной функции   действительных корней квадратный трехчлен не имеет, поэтому выделим полный квадрат из квадратного трехчлена  Обозначим через тогда   

Подставим в данный интеграл:

Пример 22. Найти интеграл 

Решение. Выделим из квадратного трехчлена полный квадрат

  Введем новую переменную  тогда  

Далее разложим полученный интеграл на сумму двух интегралов, соответственно двум слагаемым в числителе, и находим их по формуле 20 таблицы интегралов и равенству (1.4)

Возвращаясь к переменной  окончательно получим

 

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач