Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

Вычисление объемов и площадей боковых поверхностей тел вращения

Объем.

Понятие объема вводится аналогично тому, как это делалось для площади, поэтому похожие моменты а этом параграфе будут излагаться конспективно. Известным считается понятие объема элементарной области, т.е. для области, ограниченной многогранником ( сводится к объему тетраэдра, не обязательно правильного). Объединение конечного числа непересекающихся областей такого типа также будет называться многогранником. Далее рассматривается класс пространственных областей, которые ограничены ( содержаться в некотором шаре ) и для которых существует хотя бы один вписанный многогранник. Вписанные многогранники будем обозначать индексом i,Pi описанные Pe . Объем обозначается mP. Объем обладает свойством монотонности, таким образом, всегда mPi £ mPe Криволинейные интегралы Математика лекции примеры решения задач .

Нижний объем: mD = sup mPi , по всевозможным вписанным многогранникам.

Верхний объем:= inf mPe .

Лемма. mD £ .

Определение. Область называется кубируемой, если = mD. Эта общая величина называется объемом и обозначается mD. Связь математической статистики с теорией вероятности

Теорема (Критерий кубируемости). Для того, чтобы область D была кубируемой Н. и Д., чтобы "e>0$ Pe , Pi : mPe - mPi <e .

Теорема (Второй критерий кубируемости). Для того, чтобы область D была кубируемой Н. и Д., чтобы "e>0$ кубируемые Pe , Pi (не обязательно многогранники) : mPe - mPi <e .

Для объема справедливы свойства монотонности, аддитивности.

Пример. Цилиндр является кубируемым телом, если в его основании лежит квадрируемая фигура и его объем равен Sh (смю рис. 2_11_11.swf). Это следует из критерия кубируемости. В качестве вписанных и описанных многогранников выбираются призмы с той же образующей, что и у цилиндра, в основании которых лежат вписанные и описанные многоугольники фигуры, лежащей в основании цилиндра.

В частности кубируемым будет ступенчатое тело (см. рис. 2_11_12.swf), если в основании каждой составляющей лежит квадрируемая фигура.

Пример 3. Найти неопределенный интеграл

Решение. В знаменателе подынтегральной функции общий множитель  вынесем за скобку, тогда постоянный множитель подынтегральной функции  вынесем за знак интеграла (используем четвертое свойство):

Воспользуемся формулой 20 таблицы интегралов, где  тогда получим:

Пример 4. Найти неопределенный интеграл 

Решение. Так как  тогда получим:

 

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач