Интегральное исчисление в экономике http://ruos.ru/
Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

 Интегральное исчисление

Два основных метода интегрирования

Замена переменного

Если F(x)– первообразная для f(x) на X т.е. =F(x)+C , x=j(t) дифференцируема на T и определена суперпозиция = F(j(t))+C, тогда функция F(t)=f(j(t))j¢(t) имеет первообразную, равную F(j(t)). Таким образом,

=. Примеры решения задач курс лекций Свойства эволюты

Для доказательства достаточно продифференцировать левую и правую части и убедиться, что получится одна и та же функция.

Примеры:

 cos t dt =  d sin t = + C, x = sin t. Курсовые задания Математика лекции примеры решения задач

J = , сделаем замену x = t6, тогда

J=6=6=6t – 6 arctg t + C =6-6 arctg +C

Интегрирование по частям

Если u(x), v(x) – дифференцируемы на отрезке X и существует

dv = (x)v¢(x)dx. Тогда существует du и выполняется равенство

du = uv - dv (формула интегрирования по частям)

 Доказательство. Пусть dv = F(x)+C. Тогда функция uv – F будет искомой, что можно проверить дифференцированием.

Пример. Выберем функции: v(x) = ln x, u(x) = x, тогда

x dx =x ln x - =x ln x – x + C.

Математика лекции и примеры решения задач Числовые ряды Примеры вычисления интегралов

Пример 3. Найти общее решение уравнения .

▲ В уравнении нет в явном виде искомой функции y. Понизим порядок этого уравнения, положив . Тогда  и исходное уравнение превращается в уравнение с разделяющимися переменными

.

Т.к. , то последнее уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными

.

Получили общее решение исходного уравнения . ▼

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач