Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

Площадь плоской области

Вычисление площадей областей, граница которых задана в полярных координатах. Элементы теории поля Математика лекции примеры решения задач

Предполагаем, что доказана квадрируемость кругового сектора радиуса r , заключенного между двумя лучами ( с углами a, b) и известно, что его площадь равна . Рассмотрим более общий случай области, заключенной между этими лучами и непрерывной кривой, заданной в полярных координатах r=r(j) (см. рис. 2_10_41.swf).

Теорема. Криволинейный сектор, определяемый лучами углов a, b и непрерывной кривой r=r(j) квадрируем и его площадь вычисляется по формуле Численное интегрирование функций Хорошо известны многочисленные примеры задач из различных отраслей механики, геометрии, физики, и т.д., которые приводят к необходимости вычисления определенных интегралов функции одной переменной на некотором отрезке.

mD=. (3)

Доказательство. Интеграл справа в (3) существует, поэтому для заданного e существует разбиение D={a=j0<j1<…<jn=b} такое, что S(f,D) – s(f,D) < e. Здесь f(j)=. Нижняя сумма Дарбу представляет собой сумму величин вида , где mk – радиус некоторого кругового сектора, вписанного в соответствующий криволинейный сектор (см. рис. 2_10_42.swf). Таким образом, для любого e можно указать две квадрируемые области, одна из которых содержится внутри исходной области, а вторая охватывает эту область. Каждая из этих областей составлена из круговых сегментов и имеет площадь равную s(f,D), S(f,D), соответственно. Квадрируемость следует из сделанного второго критерия квадрируемости. Формула для площади получается также, как и при доказательстве квадрируемости криволинейной трапеции.

Пример 2. Найти неопределенный интеграл  и проверить результат дифференцированием.

Решение. Так как  тогда получим

Проверка. Найдем производную от полученного результата:

Совпадение полученного результата с подынтегральной функцией говорит о том, что неопределенный интеграл найден верно (согласно первому свойству).

 

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач