Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

Площадь плоской области

Площадь криволинейной трапеции. Интегралы, зависящие от параметра Математика лекции примеры решения задач

Пусть f(x)³0 и непрерывна на отрезке [a,b]. Область расположенную между графиком функции , осью x и вертикалями x = a, x = b называется криволинейной трапецией (см. рис. 2_10_31.swf).

Теорема. Криволинейная трапеция D квадрируема и ее площадь

.

Доказательство. Пусть e>0. В силу интегрируемости f(x) для этого e существует разбиение отрезка [a,b], D={a=x0<x1<…<xn} такое, что S(f,D) – s(f,D) < e (см. рис. 2_10_32.swf). Прямоугольники, соответствующие нижней сумме Дарбу образуют вписанный в область D многоугольник Pi , прямоугольники, соответствующие верхней сумме Дарбу образуют описанный многоугольник Pe для области D, s(f,D) = m Pi , S(f,D)= m Pe . Отсюда следует квадрируемость области D и требуемое равенство.

Замечание. Если f(x)£ 0 и непрерывна на отрезке [a,b], то . Для области D, заключенной между двумя непрерывными кривыми (графиками функций) y=f1(x), y=f2(x), f1(x)£f2(x) на [a,b],  (см. рис. 2_10_33.swf). В более общих случаях для вычисления площади следует разбить область на фигуры указанного вида. Численное интегрирование функций Хорошо известны многочисленные примеры задач из различных отраслей механики, геометрии, физики, и т.д., которые приводят к необходимости вычисления определенных интегралов функции одной переменной на некотором отрезке.

Неопределенный интеграл

Пример 1. Найти интеграл  и проверить результат дифференцированием.

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию  тогда

Проверка. Найдем дифференциал полученной функции:

Сравнивая полученный дифференциал с подынтегральным выражением данного интеграла, убеждаемся в том, что интеграл найден верно (согласно второму свойству неопределенного интеграла).

 

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач