Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

Площадь плоской области Свойства площади.

Теорема (Монотонность). Если D1, D2 квадрируемы и D1Ì D2 , то mD1 £ mD2 . Тензоры Математика лекции примеры решения задач

Доказательство. Любой Pi для D1 является вписанным и для D2, поэтому mD1=sup mPi ,будет £ mD2.

Теорема (Аддитивность). Если квадрируемая область D разбита кусочно-гладкой кривой на две подобласти D1 ,D2 , то они квадрируемы и

mD = mD1 + mD2.

Доказательство (только для ломаной, разбивающей область на две части). Обозначения см. на рис. 2_10_3.swf. Выполнены следующие соотношения

Pi¢¢È Pi¢= Pi , Pe¢¢È Pe¢= Pe (1) Примеры вычисления интегралов Математика лекции и примеры решения задач

По заданному e выберем Pi , Pe так, что m Pe - m Pi < e . Из (1) следует, что

mPi¢¢ + mPi¢= mPi , mPe¢¢+ mPe¢= mPe . Вычитая из второго равенства первое получим , (mPe¢¢ - mPi¢¢) + (mPe¢ - mPi¢)= mPe - mPi < e . Откуда получаем неравенства (mPe¢¢ - mPi¢¢) < e , (mPe¢ - mPi¢) < e . Таким образом, квадрируемость D1 ,D2 доказана. Для доказательства равенства mD = mD1 + mD2 можно рассмотреть последовательность вписанных в D многоугольников Pk , реализующих верхнюю грань sup mPi = mD и таких, что PkÌ Pk+1 , . Если через Pk¢, Pk¢¢ , обозначить, соответствующие заданному разбиению области, вписанные многоугольники для областей D1 ,D2 , то будет выполнено равенство

mPk¢ + mPk¢¢ = m Pk (2)

  так как Pk¢ Ì Pk+1¢ , Pk¢¢ Ì Pk+1¢¢ ( это следует из условия PkÌ Pk+1 ), то будут существовать пределы  и . Переходя к пределу в (2) получим

mD1 + mD2 ³  +   = mD.

Аналогичное рассуждение можно повторить для описанных многоугольников. В результате получим неравенство

mD1 + mD2 £ mD.

Откуда и следует требуемое равенство.

В качестве еще одного свойства площади отметим ее независимость от выбора системы координат. Легко доказать

Теорема (Второй критерий квадрируемости). Пусть D некоторая область. Если для

"e>0 $ кадрируемые , то D квадрируема.

В теореме сформулировано только достаточное условие квадрируемости, необходимость этого условия очевидна.

Пример 5. Вычислить циркуляцию векторного поля по контуру l, образованному пересечением поверхностей   и . Проверить результат с помощью формулы Стокса.

▲ Пересечением указанных поверхностей (см. пример 4) является окружность . Направление обхода контура выбираем так, чтобы ограниченная им область G (круг) оставалась слева. Запишем параметрические уравнения контура (окружности) . По формулам (9.20) и (9.15) получаем

.

Применим теперь формулу Стокса (9.21). При возрастании параметра t от 0 до 2p движение по окружности происходит против часовой стрелки относительно единичного вектора . Ротор данного векторного поля находим по формуле (9.18)

.

Скалярное произведение вектора  на вектор

.

Поэтому искомая циркуляция (9.21)

,

что совпадает со значением циркуляции, полученным непосредственным вычислением.

 

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач