header ("Last-Modified: ".gmdate("D, d M Y H:i:s")." GMT +0200"); ?>
Площадь плоской области
Квадрируемые фигуры.
Многоугольником
P в этом параграфе называется внутренняя часть области, ограниченной замкнутой
не самопересекающейся ломаной L. Для простоты формулировок, объединение конечного
числа многоугольников будет также называться многоугольником (см рис. 2_10_0.swf).
Сама ломанная L (или ломанные) называется границей многоугольника P и обозначается
¶P. Многоугольник плюс граница обозначается =P+¶P. Будем предполагать известным понятие площади для многоугольников. Под
областью в этом параграфе будем понимать ограниченное множество, для которого
существует хотя бы один вписанный многоугольник. Можно ограничиться множествами,
определяемыми некоторой одной или несколькими замкнутыми кривыми, ограничивающими
это множество.
Определение. Индексом i будем обозначать многоугольники, вписанные в заданную область D, Pi Ì DȶD (¶D – кривая, ограничивающая область D ). Индексом e будем обозначать описанные многоугольники, Pe É DȶD. Площадь многоугольника P будем обозначать через mP. Кратные интегралы Математика лекции примеры решения задач
Для площади известно свойство монотонности: если PÌQ, то mP £ mQ.
Определение. Нижней площадью области D назовем величину
mD = sup mPi , по всевозможным вписанным многоугольникам.
Верхней
площадью области D назовем величину=
inf mPe , по всевозможным описанным многоугольникам.
Здесь мы будем рассматривать лишь ограниченные области, для которых множество вписанных многоугольников не пусто.
Лемма.
mD £ . Примеры
задач типовых расчетов по Кузнецову Векторный анализ Найти производную скалярного
поля в точке по направлению проходящей через эту точку нормали к поверхности ,
образующей острый угол с положительным направлением оси .
Доказательство.
От противного. Пусть £ mD (см. рис. 2_10_1.swf ). Выбираем
непересекающиеся окрестности чисел
, mD . По определению нижней и верхней
площадей найдутся два многоугольника Pi , Pe , один с площадью mPe из выбранной окрестности числа
, другой из окрестности числа mD . Согласно выбору окрестностей mPe < mPi , что противоречит свойству монотонности площадей для многоугольников.
Определение.
Плоская фигура называется квадрируемой, если = mD. Эта общая величина называется
площадью.
Теорема (критерий квадрируемости). Для того, чтобы плоская фигура D была квадрируемой Н. и Д., чтобы "e>0$ Pe , Pi : mPe - mPi <e .
Доказательство. Для любых Pe , Pi из доказанной леммы и из определений нижней и верхней площадей следуют неравенства
mPi £ mD £ £ mPe ,
откуда и следует требуемое утверждение.
Определение. Множество D имеет площадь 0, если его можно покрыть многоугольниками со сколь угодно малой суммарной площадью.
Если область D определена ограничивающей ее замкнутой кривой ¶D, то для квадрируемости D необходимо и достаточно, чтобы ее граница имела площадь = 0.
Пример
4. Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность S, образованную
плоскостью
и частью конуса
.
Проверить результат с помощью формулы Остроградского-Гаусса.
▲
Поверхность S состоит из двух поверхностей: - части конуса
и
- части плоскости
. Поэтому поток через поверхность
S равен сумме потоков вектора a через составляющие поверхности:
,
где
и
- внешние единичные нормали к конусу и плоскости
соответственно
Вычислим поток через поверхность , уравнение которой в явном виде
(так как
). Исключая z из уравнений
и
, получим уравнение границы области G (проекции
поверхности
на плоскость
):
. Вектор внешней нормали к поверхности
.
Здесь
в выражении для нормали выбран знак «-», так как угол между осью
и нормалью n1 -
тупой, и, следовательно, .
Найдем скалярное произведение векторов
.
Учитывая,
что на поверхности
,
по
формуле (9.16) получаем . Область G есть круг
. Поэтому переходим к полярным координатам
Вектор
внешней нормали к поверхности
.
Здесь в выражении для нормали выбран знак «+»,
так как . Тогда имеем
;
;
.
Таким
образом, поток векторного поля через поверхность равен
.
Найдем решение этой задачи с помощью
формулы Остроградского-Гаусса (9.20). Дивергенция поля равна
,
а поток (в цилиндрической системе координат)
.
Следовательно,
как и в первом случае, . ▼
Высшая
математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач |