Площадь плоской области Квадрируемые фигуры

Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

Площадь плоской области

Квадрируемые фигуры.

Многоугольником P в этом параграфе называется внутренняя часть области, ограниченной замкнутой не самопересекающейся ломаной L. Для простоты формулировок, объединение конечного числа многоугольников будет также называться многоугольником (см рис. 2_10_0.swf). Сама ломанная L (или ломанные) называется границей многоугольника P и обозначается ¶P. Многоугольник плюс граница обозначается =P+¶P. Будем предполагать известным понятие площади для многоугольников. Под областью в этом параграфе будем понимать ограниченное множество, для которого существует хотя бы один вписанный многоугольник. Можно ограничиться множествами, определяемыми некоторой одной или несколькими замкнутыми кривыми, ограничивающими это множество.

Определение. Индексом i будем обозначать многоугольники, вписанные в заданную область D, Pi Ì DÈ¶D (¶D – кривая, ограничивающая область D ). Индексом e будем обозначать описанные многоугольники, Pe É DÈ¶D. Площадь многоугольника P будем обозначать через mP. Кратные интегралы Математика лекции примеры решения задач

Для площади известно свойство монотонности: если PÌQ, то mP £ mQ.

Определение. Нижней площадью области D назовем величину

mD = sup mPi , по всевозможным вписанным многоугольникам.

Верхней площадью области D назовем величину= inf mPe , по всевозможным описанным многоугольникам.

Здесь мы будем рассматривать лишь ограниченные области, для которых множество вписанных многоугольников не пусто.

Лемма. mD £ . Примеры задач типовых расчетов по Кузнецову Векторный анализ Найти производную скалярного поля в точке по направлению проходящей через эту точку нормали к поверхности , образующей острый угол с положительным направлением оси .

Доказательство. От противного. Пусть £ mD (см. рис. 2_10_1.swf ). Выбираем непересекающиеся окрестности чисел , mD . По определению нижней и верхней площадей найдутся два многоугольника Pi , Pe , один с площадью mPe из выбранной окрестности числа , другой из окрестности числа mD . Согласно выбору окрестностей mPe < mPi , что противоречит свойству монотонности площадей для многоугольников.

Определение. Плоская фигура называется квадрируемой, если = mD. Эта общая величина называется площадью.

Теорема (критерий квадрируемости). Для того, чтобы плоская фигура D была квадрируемой Н. и Д., чтобы "e>0$ Pe , Pi : mPe - mPi <e .

Доказательство. Для любых Pe , Pi из доказанной леммы и из определений нижней и верхней площадей следуют неравенства

mPi £ mD £ £ mPe ,

откуда и следует требуемое утверждение.

Определение. Множество D имеет площадь 0, если его можно покрыть многоугольниками со сколь угодно малой суммарной площадью.

Если область D определена ограничивающей ее замкнутой кривой ¶D, то для квадрируемости D необходимо и достаточно, чтобы ее граница имела площадь = 0.

Пример 4. Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность S, образованную плоскостью и частью конуса . Проверить результат с помощью формулы Остроградского-Гаусса.

▲ Поверхность S состоит из двух поверхностей: - части конуса и - части плоскости . Поэтому поток через поверхность S равен сумме потоков вектора a через составляющие поверхности:

где и - внешние единичные нормали к конусу и плоскости соответственно

Вычислим поток через поверхность , уравнение которой в явном виде (так как ). Исключая z из уравнений и , получим уравнение границы области G (проекции поверхности на плоскость ): . Вектор внешней нормали к поверхности