Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

Методы вычисления определенных интегралов

 Замена переменных в определенном интеграле Последовательности Математика лекции примеры решения задач

Теорема 1. Пусть f(x) непрерывна на [a,b], j(t) непрерывна вместе с производной на [a,b], причем j(t)Î[a,b], если tÎ[a,b], j(a)=a, j(b)=b. Тогда

dx = j¢(t) dt (2) Примеры решения задач курс лекций Эллипс Уравнения некоторых типов кривых в параметрической форме

Формула (2) называется формулой замены переменного в определенном интеграле.

Доказательство. Оба интеграла в (2) существуют. Пусть F(x) первообразная функции f(x) , тогда F(j(t)) существует и является первообразной функции f(j(t))j¢(t). По формуле Ньютона-Лейбница

dx = F(b) – F(a), j¢(t) dt = F(j(b)) – F(j(a)) = F(b) – F(a).

Замечание. Формула (2) иногда записывается в виде

dx = dj (t).

2.Интегрирование по частям.

Теорема 2. Если функции u(x), v(x) непрерывны вместе со своими производными на [a,b], то

dx =  - dx (3)

Доказательство.

= dx = dx = dv + du.

Основные методы интегрирования

Пример 8. Найти интеграл

Решение. Пусть  или  тогда  

Согласно соотношению (1.4)  получаем

Возвращаясь к исходной переменной интегрирования  окончательно получаем:

Можно найти данный интеграл иначе:

пусть  Отсюда     Тогда получим:

Полученные результаты отличаются постоянным слагаемым 2; оба результата правильные, так как, согласно теореме 2, две первообразные от данной подынтегральной функции отличаются на некоторую константу.

 

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач