Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

 

Свойства определенного интеграла

Простейшие свойства

Если f и g интегрируемы на [a,b], то f + g также интегрируема на [a,b] и

(f(x) + g(x))dx = f(x)dx + g(x)dx. Примеры решения задач курс лекций Интегрирование некоторых иррациональных функций Интегральное исчисление.

Доказательство. Пусть w¢k колебание функции f на [xk,xk+1] , w¢¢k колебание функции g на [xk,xk+1] , wk колебание функции f+g на [xk,xk+1] . Тогда

wk =sup|f(x¢)+g(x¢) – f(y¢) – g(y¢)|£ sup(|f(x¢)– f(y¢) |+| g(x¢)– g(y¢)|)£ 

£ sup|f(x¢) - f(y¢)|+ sup|g(x¢) – g(y¢)|=w¢k + w¢¢k . Отсюда

S(f+g ,D) – s(f+g ,D)=Swk Dxk £ Sw¢k Dxk + Sw¢¢k Dxk . Корни уравнения Математика лекции примеры решения задач

Откуда следует интегрируемость суммы. Далее для стандартной последовательности интегральных сумм

sm(f+g) = sm(f) + sm(g).

переходя к пределу при m®¥ получим требуемое равенство.

Если f интегрируема на [a,b] , то cf(x) также интегрируема и

c f(x)dx =cf(x)dx.

Утверждение следует из соотношения s(cf,D,x)= cs(f,D,x) для интегральных сумм.

Если f интегрируема на [a,b] , то |f(x)| также интегрируема и

| f(x)dx | £| f(x)|dx.

Доказательство. Пусть w¢k колебание функции | f | на [xk,xk+1] , а wk колебание функции f на [xk,xk+1] . Тогда

w¢k =sup||f(x¢)| –| f(y¢)||£ sup|f(x¢)– f(y¢) |= wk .

Откуда следует интегрируемость | f |. Далее для стандартной последовательности интегральных сумм

|sm(f)|£ sm(|f|).

переходя к пределу при m®¥ получим требуемое неравенство.

Если f, g интегрируемы на [a,b] , то f(x)g(x) также интегрируема.

Доказательство. Так как функции интегрируемы, то они ограничены |f(x)|£M, |g(x)|£M . Пусть w¢k колебание функции f на [xk,xk+1] , w¢¢k колебание функции g на [xk,xk+1], а wk колебание функции f g на [xk,xk+1] . Выполнено соотношение

f(x)g(x) – f(y)g(y) = f(x)g(x) – f(x)g(y) + f(x)g(y) – f(y)g(y) =

=  f(x)(g(x) –g(y)) + g(y)( f(x) – f(y)). Откуда следует неравенство

w£ Mw¢¢k + Mw¢k и, следовательно, функция f(x)g(x) интегрируема.

Если f отлична от 0 лишь в конечном числе точек, то она интегрируема и ее интеграл равен нулю.

Доказательство. Для одной точки

 или , в зависимости от того, попадет единственная точка, где функция отлична от нуля, в число промежуточных точек или нет. Во всяком случае |s(f,D,x)| £ Ml(D). Примеры вычисления интегралов Математика лекции и примеры решения задач

Следствие. Если f1 интегрируема, и f2 отлична от f1 на конечном числе точек, то f2 также интегрируема и

 f1(x)dx = f2(x)dx .

Доказательство. f2 = f1 + ( f2 – f1 ).

6)  1 dx = b – a.

Если a < b , то по определению полагают

dx = - dx .

Если f и g интегрируемы на [a,b] и f £ g на [a,b] , то

dx £ dx .

Для стандартной последовательности интегральных сумм

sm(f)£ sm(g).

 

Пример 5. Найти общее решение уравнения  и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям , .

▲ Рассмотрим однородное уравнение . Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид , откуда , . Следовательно,  - общее решение однородного уравнения.

Подберем вид частного решения для данного уравнения.

Подставляя  и  в неоднородное исходное уравнение, получим тождество ( - решение данного уравнения). Для удобства вычислений будем выписывать выражения , ,  в отдельные строки и слева за вертикальной чертой помещать коэффициенты, стоящие перед ними в уравнении. Умножая эти выражения на коэффициенты, складывая и приводя подобные члены, имеем:

.

Приравнивая коэффициенты при подобных членах в левой и правой части последнего тождества, находим  и :

Итак, частное решение неоднородного уравнения имеет вид

,

а общее решение неоднородного уравнения -

.

Найдем частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:

Искомое частное решение таково:

. ▼

После изучения темы ”Дифференциальные уравнения“ выполните контрольную работу 6.

 

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач