header ("Last-Modified: ".gmdate("D, d M Y H:i:s")." GMT +0200"); ?>
Классы интегрируемых функций
Непрерывные функции. Функции и их графики Математика лекции примеры решения задач
Теорема 1. Всякая непрерывная на отрезки [a,b] функция интегрируема на этом отрезке.
Доказательство. Как ранее отмечалось
S(f,D) - s(f,D) =, wk (f) = Mk – mk .
По теореме Кантора для " e > 0 $ d > 0 такое, что при l(D)<d будет выполнено неравенство wk(f)< e / ( b – a ). Тогда
S(f,D) - s(f,D) =<
=e . Примеры решения
задач курс лекций Интеграл произведения синусов и косинусов Интегральное исчисление.
2.Монотонные ограниченные функции и некоторые другие классы интегрируемых функций.
Теоремы 2. Любая монотонная ограниченная функция является интегрируемой функцией.
Доказательство. Пусть f монотонно возрастает, тогда
S(f,D) - s(f,D) = = =
<l(D)
=l(D)(f(b) – f(a)),
откуда и следует интегрируемость с учетом теоремы Дарбу.
Теорема 3. Любая ограниченная функция, имеющая конечное число разрывов интегрируема.
Доказательство.
Пусть функция f(x) ограничена на [a,b], |f(x)| £ M и имеет p
точек разрыва {uk} . Для упрощения доказательства будем предполагать, что все
точки разрыва внутренние. Пусть e > 0 , рассмотрим
непересекающиеся окрестности точек разрыва {( uk - g, uk +g )} с суммарной длиной 2g p < e , будем также предполагать, что все эти окрестности лежат в интервале
(a,b). Функция f равномерно непрерывна на дополнении D = [a,b]\, поэтому существует d > 0 такое, что |f(x¢¢)-f(x¢)|<e при | x¢¢ - x¢ |< d , x¢¢, x¢ Î D . Представим S – s в виде трех сумм
S – s = S wk(f) D xk =S¢ + S¢¢ + S¢¢¢ .
Через S¢ обозначена часть суммы S wk(f) D xk , для которой [xk,xk+1]ÌD.
Через
S¢¢
- часть суммы S wk(f) D xk , для которой [xk,xk+1]Ì .
Через S¢¢¢ обозначена часть суммы S wk(f) D xk , содержащая остальные слагаемые. Имеем
S¢ £ S¢ e D xk = (b – a) e , S¢¢ £ S¢¢ 2M D xk = 2M S¢¢ D xk < 2M e ,
S¢¢¢ £ S¢¢¢ 2M D xk = 2M S¢¢ D xk < 2M 2p e. Таким образом, для разбиения выбранной мелкости справедливо неравенство
S – s < (b – a +2M +4Mp ) e. По теореме Дарбу функция интегрируема.
Теорема 4. Ограниченная, имеющая счетное число разрывов функция интегрируема.
Без доказательства.
Гармонические колебания и их характеристики Физика, математика - курс лекций . Электрические цепи
Область интегрирования G,
правильная относительно оси Oy, проектируется на ось Ox в отрезок . Верхняя граница области интегрирования
на отрезке
задана двумя аналитическими выражениями:
и
. Следовательно, разбиваем область интегрирования
прямой, параллельной оси Oy и проходящей через точку пересечения линий
и
, абсцисса которой -1,
на две области
и
:
3)
Получаем . ▼
Высшая
математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач |