Классы интегрируемых функций

 Непрерывные функции. Функции и их графики Математика лекции примеры решения задач

Теорема 1. Всякая непрерывная на отрезки [a,b] функция интегрируема на этом отрезке.

  Доказательство. Как ранее отмечалось

S(f,D) - s(f,D) =, wk (f) = Mk – mk .

По теореме Кантора для " e > 0 $ d > 0 такое, что при l(D)<d будет выполнено неравенство wk(f)< e / ( b – a ). Тогда

S(f,D) - s(f,D) =<=e . Примеры решения задач курс лекций Интеграл произведения синусов и косинусов Интегральное исчисление.

2.Монотонные ограниченные функции и некоторые другие классы интегрируемых функций.

Теоремы 2. Любая монотонная ограниченная функция является интегрируемой функцией.

  Доказательство. Пусть f монотонно возрастает, тогда

S(f,D) - s(f,D) = = =<l(D)=l(D)(f(b) – f(a)),

откуда и следует интегрируемость с учетом теоремы Дарбу.

Теорема 3. Любая ограниченная функция, имеющая конечное число разрывов интегрируема.

Доказательство. Пусть функция f(x) ограничена на [a,b], |f(x)| £ M и имеет p  точек разрыва {uk} . Для упрощения доказательства будем предполагать, что все точки разрыва внутренние. Пусть e > 0 , рассмотрим непересекающиеся окрестности точек разрыва {( uk - g, uk +g )} с суммарной длиной 2g p < e , будем также предполагать, что все эти окрестности лежат в интервале (a,b). Функция f равномерно непрерывна на дополнении D = [a,b]\, поэтому существует d > 0 такое, что |f(x¢¢)-f(x¢)|<e при | x¢¢ - x¢ |< d , x¢¢, x¢ Î D . Представим S – s в виде трех сумм

S – s = S wk(f) D xk =S¢ + S¢¢ + S¢¢¢ .

Через S¢ обозначена часть суммы S wk(f) D xk , для которой [xk,xk+1]ÌD.

Через S¢¢ - часть суммы S wk(f) D xk , для которой [xk,xk+1]Ì .

Через S¢¢¢ обозначена часть суммы S wk(f) D xk , содержащая остальные слагаемые. Имеем

S¢ £ S¢ e D xk = (b – a) e , S¢¢ £ S¢¢ 2M D xk = 2M S¢¢ D xk < 2M e ,

S¢¢¢ £ S¢¢¢ 2M D xk = 2M S¢¢ D xk < 2M 2p e. Таким образом, для разбиения выбранной мелкости справедливо неравенство

S – s < (b – a +2M +4Mp ) e. По теореме Дарбу функция интегрируема.

Теорема 4. Ограниченная, имеющая счетное число разрывов функция интегрируема.

Без доказательства.

Гармонические колебания и их характеристики Физика, математика - курс лекций . Электрические цепи

Область интегрирования G, правильная относительно оси Oy, проектируется на ось Ox в отрезок . Верхняя граница области интегрирования  на отрезке  задана двумя аналитическими выражениями:   и . Следовательно, разбиваем область интегрирования прямой, параллельной оси Oy и проходящей через точку пересечения линий   и , абсцисса которой -1, на две области  и :

3) Получаем . ▼

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач