Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

Определенный интеграл

Суммы Дарбу и их свойства

Определения.

Пусть функция f(x) определена на [a,b] и D={a=x0< x1<…< xn=b} разбиение отрезка [a,b]. Нижней суммой Дарбу называется сумма

s(f,D)=, mk =.

Верхней суммой Дарбу называется сумма Примеры решения задач курс лекций Интегрирование элементарных дробей Интегральное исчисление.

S(f,D)=, Mk =.

Геометрический смысл сумм Дарбу см. файл 2_2_1.swf.

2.Свойства сумм Дарбу. Степенные ряды Математика лекции примеры решения задач

Определение. Если разбиение D2 получено из разбиения D1 добавлением некоторого числа узлов, то говорят, что разбиение D2 следует за разбиением D1 (или D2 является более мелким, чем D1), при этом пишут D1  D2 .

Для любого разбиения D и набора промежуточных точек xÎD имеют место соотношения

s(f,D) £ s( f,D,x) £ S(f,D), s(f,D) = s( f,D,x), S(f,D) = s( f,D,x).

Следует непосредственно из определения интегральных сумм и сумм Дарбу. Математика лекции и примеры решения задач Производная по направлению. Пусть в плоскости XOY расположена точка M0(x0,y0). Зададим произвольный угол a и рассмотрим множество точек на той же плоскости, координаты которых определяются из формул x=x0+tcosa, y=y0+tsina.

2) Если D1  D2 два разбиения данного отрезка, то

s(f,D1) £ s(f,D2) , S(f,D2) £ S(f,D1) .

Другими словами, при измельчении разбиения нижние суммы могут только возрасти, а верхние суммы могут только уменьшиться. Это утверждение достаточно доказать для случая, когда второе разбиение получено из первого добавление всего одной точки. Пусть новая точка появилась на отрезке [x¢k, x¢k+1]. Таким образом, во втором разбиении эта точка будет иметь номер k+1 и [x¢k, x¢k+1] =[x¢¢k, x¢¢k+1] È[x¢¢k+1, x¢¢k+2] (см. рисунок Дарбу2.swf из файла иллюстраций к курсу). Рассмотрим нижние суммы Дарбу. Нижняя грань по всему множеству [x¢k, x¢k+1] будет меньше или равна, чем нижняя грань по части этого множества, поэтому m¢k£ m¢¢k , m¢k£ m¢¢k+1 . Отличие сумм s(f,D1), s(f,D2) состоит в том, что во второй сумме вместо слагаемого m¢k(x¢k+1 - x¢k) появились два слагаемых m¢¢k D¢¢k+ m¢¢k+1 D ¢¢k+1. Таким образом, разность сумм

s(f,D2) - s(f,D1) = m¢¢k D¢¢k + m¢¢k+1 D ¢¢k+1 - m¢k D¢k = m¢¢k D¢¢k + m¢¢k+1 D ¢¢k+1  -

- m¢k (D¢¢k +D ¢¢k+1) = (m¢¢k - m¢k) D¢¢k +( m¢¢k+1 - m¢k ) D ¢¢k+1 ³ 0.

Здесь D¢k = x¢k+1 - x¢k = x¢¢k+2 - x¢¢k = x¢¢k+2 - x¢¢k+1 + x¢¢k+1 - x¢¢k = D¢¢k+1 +D ¢¢k .

Аналогично доказывается утверждение для верхних сумм Дарбу.

Для любых разбиений D1 ,D2 данного отрезка справедливо неравенство

s(f,D1) £ S(f,D2).

Обозначим через D3 = D1 ÈD2 разбиение, образованное всеми узлами двух исходных разбиений. Очевидно D1  D3 , D2  D3 . Тогда, как это следует из предыдущего свойства

s(f,D1) £ s(f,D3) £ S(f,D3) £ S(f,D2),

откуда и следует доказываемое неравенство.

 

Пример 4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

в области, ограниченной линиями , .

▲ Находим критическую точку  из следующей системы:

откуда . Получили точку , в которой .

Исследуем данную функцию на границе области.

На прямой линии  имеем , и задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значений функции одной переменной на отрезке .

Находим . Получили точку локального минимума , в которой .

На концах отрезка .

Аналогично на прямой линии  имеем:

, , т.е.  - точка локального минимума, в которой . В точке .

На отрезке прямой  имеем, исключив y из z в соответствии с уравнениями , , отсюда находим критическую точку , в которой .

Сравнивая все полученные значения z, заключаем, что  достигается в точках, , а  - в критической точке . ▼

 

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач