Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

Определенный интеграл

Интеграл Римана Определения

Пусть функция f(x) определена на [a,b]. Разбиением отрезка [a,b] называется набор точек D={a=x0< x1<…< xn=b}. Обозначим через x набор промежуточных точек для D, x={xk}, xkÎ[xk,xk+1], k=0,1,…,n -1. Интегральной суммой для набора f, D, x называется выражение

 (1)

Величина l(D)=(xk+1 - xk) называется характеристикой разбиения D, точки xk называются узлами разбиения. Выбор промежуточных точек x для данного разбиения D мы будем обозначать xÎD.

Определение. Предел интегральных сумм s(f,D,x) при l(D)®0 (если он существует и не зависит от выбора разбиений и промежуточных точек ) называется определенным интегралом от функции f на отрезке[a,b] и обозначается

=. Математический анализ Математика лекции примеры решения задач

Более точно это определение выглядит следующим образом:

$J"e>0$d>0:(l(D)<d,xÎD)Þ|s(f,D,x)-J|<e.

Функция, для которой существует интеграл, называется интегрируемой на данном отрезке.

Пусть функция f(x) интегрируема на [a,b]. Выберем какую-либо последовательность разбиений Dm , удовлетворяющую условию . Для каждого из этих разбиений будем считать заданным некоторый набор промежуточных точек x mÎDm. Соответствующую интегральную сумму обозначим sm = s( f,Dm,xm). Из определения интеграла следует, что

=

  Простейшим разбиением отрезка является разбиение с равноотстоящими узлами Dm ={},  =a+k, k=0,1,…,m. Очевидно . В качестве промежуточных точек выберем середины отрезков разбиения . Полученную таким образом последовательность интегральных сумм 

sm = s( f,Dm,xm)= будем называть стандартной последовательностью интегральных сумм. В качестве последовательности реализующей значение интеграла можно брать суммы, где промежуточные точки совпадают с левыми или правыми концами отрезков разбиения. Например, для левых концов

=.

Пример. Частный случай. Если функция f интегрируема на [0,1], то

=.

Теорема. Если функция интегрируема, то она ограничена. Математика лекции и примеры решения задач Приведем примеры вычисления частных производных. Как говорилось выше, для вычисления частной производной по x функции z=f(x,y) нужно положить переменную y равной константе, а при нахождении частной производной по y нужно считать константой переменную x.

Доказательство. Предположим противное, функция f(x) не ограничена на отрезке [a,b]. Тогда найдется последовательность t mÎ[a,b], сходящаяся  и такая, что . В дальнейшем рассмотрим лишь случай, когда t0Î(a,b). Пусть e=1 для него

$d>0:(l(D)<d,xÎD) Þ |s(f,D,x)-J|<1, (2)

где =J. Выберем l(D)<d так, что точка t0 является внутренней точкой некоторого отрезка [xp,xp+1] разбиения D. Можно считать, что {t m}Ì[xp,xp+1]. В качестве промежуточных точек xmÎ D выберем для определенности середины отрезков разбиения, за исключением отрезка [xp,xp+1], в котором промежуточной точкой будем выбирать = t m. Тогда

=A+(xp+1-xp), (3)

через A обозначена остальная часть интегральной суммы, не зависящая от m. Из (3) следует, что выбором номера m можно сделать интегральную сумму (3) сколь угодно большой. С другой стороны, как это следует из (1),

J – 1 < s( f,D,xm) < J + 1.

Полученное противоречие завершает доказательство.

2.Геометрический смысл интеграла Римана ( см. рис. 2_1_2.swf ).

  Интегральная сумма представляет собой сумму площадей прямоугольников, построенных на отрезках разбиения [xk,xk+1] с высотой f(xk). При достаточно мелком разбиении D эту суммарную площадь естественно считать приближенно равной площади фигуры, ограниченной графиком функции ( здесь мы считаем, что f(x)>0) осью абсцисс и прямыми x=a, x=b. Такое наблюдение приводит к мысли использовать определенный интеграл для формального определения площадей подобных областей. Точное определение площадей плоских фигур будет рассматриваться в курсе позже.

 

Пример 9. Вычислить длину одной арки циклоиды

, .

▲ Поскольку все арки циклоиды одинаковы, рассмотрим ее первую арку, вдоль которой параметр t изменяется от 0 до 2p (см. рис. 9). Тогда, согласно формуле (5.15), имеем ,

 у

 2

 О 2 4 6 х

Рис. 9

. ▼

Пример 10. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси  кривой .

▲ Объем полученного тела вращения найдем по формуле (5.17):

. ▼

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач