Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

 Интегральное исчисление

Первообразная, неопределенный интеграл Математика лекции и примеры решения задач Частные производные Примеры вычисления интегралов

1.Определения

Интегрирование – обратная задача к дифференцированию.

Пусть X – связное множество, т.е. множество, которое вместе с любыми своими точками содержит и отрезок, их соединяющий. Функция F(x) называется первообразной для f(x) на связном множестве X, если F¢(x) = f(x).

Примеры: Примеры решения задач курс лекций Кривизна плоской кривой

1)  f(x)=0, F(x)=C (Const), X=(-¥,¥)

  f(x)=a (Const), F(x)=ax+C, X=(-¥,¥)

f(x)=cos x, F(x)=sin x+C, X=(-¥,¥)

f(x)=1/x, F(x)=ln x+C, X=(0,¥) Дифференциальные уравнения Математика лекции примеры решения задач

Замечание. Если F – первообразная для f на связном множестве X, то F1 =F +C также является первообразной для f, и наоборот, если F1 , F- первообразные для f, то F1 =F +C (Следствие из теоремы Лагранжа). Условие X – связное – существенно.

Пример. Функции ln |x| и ln|x| + sign x являются первообразными для 1/x на множестве X=(-¥,0)È(0,¥), но их разность не является константой.

Определение. Совокупность всех первообразных для f на связном X (если они существуют) называется неопределенным интегралом функции f и обозначается

Таким образом, если F – первообразная для f, то

=F(x)+C на X

Замечание. В обозначении неопределенного интеграла x несет смысловую нагрузку переменной для функции F(x)+C. Так, если x=j(t), то

F(j(t))+C =

  таким образом, интеграл справа понимается, как суперпозиция функций  и x=j(t).

Пример 1. Найти общее решение уравнения .

▲ Так как функции  и  - однородные второго измерения, то данное уравнение – однородное (см. п. 2). Сделаем замену . Тогда

.

Предполагая, что , сокращаем обе части уравнения . Далее имеем:

.

Разделяя переменные (для разделения переменных необходимо перенести все, что содержит t в одну сторону, а все, что содержит x - в другую, при этом  и  должны быть только в числителях), последовательно находим:

.

В последнее выражение вместо переменной t подставим значение . Получим общий интеграл . Разрешив его относительно y, найдем общее решение исходного дифференциального уравнения: . ▼

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач