Исследования характера поведения функций

Вычисление объемов с помощью тройных интегралов

 

 

Условие монотонности функции

Максимальные и минимальные значения функций ( экстремумы )

Исследование функций на экстремум по знаку высших производных Криволинейные интегралы

Выпуклость функции, точки перегиба

Асимптоты функций

Пример Вычислить работу силы при перемещении точки приложения силы вдоль заданной кривой L: от точки B до точки C, если значения параметра t в точках B и C заданы: . Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике

Пример

Построение графиков функций, заданных в полярной системе координат

Раскрытие неопределенностей

Использование правила Лопиталя

Примеры

Элементы высшей алгебры.

Основные понятия теории множеств.

 

 Определение. Множеством М называется объединение в единое целое определенных различимых объектов а, которые называются элементами множества.

а Π М

 Множество можно описать, указав какое – нибудь свойство, присущее всем элементам этого множества.

 Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обзначается Æ.

  Определение. Если все элементы множества А являются также элементами множества В, то говорят, что множество А включается (содержится) в множестве В.

 Определение. Если А Í В, то множество А называется подмножеством множества В, а если при этом А ¹ В, то множество А называется собственным подмножеством множества В и обозначается А Ì В.

 Для трех множеств А, В, С справедливы следующие соотношения.

Связь между включением и равенством множеств устанавливается следующим соотношением:

Здесь знак Ù обозначает конъюнкцию (логическое “и”).

Операции над множествами.

  Определение. Объединением множеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат хотя бы одномк из множеств А и В.

 Обозначается С = А È В.

 А

 В

 Геометрическое изображение множеств в виде области на плоскости называется диаграммой Эйлера – Венна.

  Определение. Пересечением множеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат каждому из множеств А и В.

 Обозначение С = А Ç В.

 А С В

 Для множеств А, В и С справедливы следующие свойства:

А Ç А = А È А = А; A È B = B È A; A Ç B = B Ç A;

(A Ç B) Ç C = A Ç (B Ç C); (A È B) È C = A È (B È C);

A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C); A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C);

A È (A Ç B) = A; A Ç (A È B) = A;

Æ = А; A Ç Æ = Æ;

 

 Определение. Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из элементов множества А, не принадлежащих множеству В.

 Обозначается С = А \ В.

 А В

 

Определение. Симметрической разностью множеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат в точности одному из множеств А или В.

 Обозначается А D В. 

А D В = (A \ B) È (B \ A)

 A B

 

Определение. СЕ называется дополнением множества А относительно множества Е, если А Í Е и CЕ = Е \ A.

 A E

 Для множеств А, В и С справедливы следующие соотношения:

A \ B Í A; A \ A = Æ; A \ (A \ B) = A Ç B;

A D B = B D A; A D B = (A È B) \ (A Ç B);

A \ (B È C) = (A \ B) Ç (A \ C); A \ (B Ç C) = (A \ B) È (A \ C);

(A È B) \ C = (A \ C) È (B \ C); (A Ç B) \ C = (A \ C) Ç (B \ C);

A \ (B \ C) = (A \ B) È (A Ç C); (A \ B) \ C = A \ (B È C);

(A D B) D C = A D (B D C); A Ç (B D C) = (A Ç B) D (A Ç C);

A È CEA = E; A Ç CEA = Æ; CEE = Æ; CEÆ = E; CECEA = A;

CE(A È B) = CEA Ç CEB; CE(A Ç B) = CEA È CEB;

 Пример. Исходя из определения равенства множеств и операций над множествами, доказать тождество и проверить его с помощью диаграммы Эйлера - Вейна.

 Из записанных выше соотношений видно, что

Æ= A \ В

 Что и требовалось доказать.

Для иллюстрации полученного результата построим диаграммы Эйлера – Вейна

 А В А В

 AÇB

  Пример. Исходя из определения равенства множеств и операций над множествами, доказать тождество.

A \ (B È C) = (A \ B) Ç (A \ C)

 Если некоторый элемент х Î А \ (В È С), то это означает, что этот элемент принадлежит множеству А, но не принадлежит множествам В и С.

 Множество А \ В представляет собой множество элементов множества А, не принадлежащих множеству В.

 Множество А \ С предсталяет собой множество элементов множества А, не принадлежащих множеству С.

 Множество (A \ B) Ç (A \ C) представляет собой множество элементов, которые принадлежат множеству А, но не принадлежат ни множеству В, ни множеству С.

  Таким образом, тождество можно считать доказанным.

Отношения и функции.

  Определение. Упорядоченной парой (a, b) двух элементов a и b называется множество {{a},{a, b}}.

 Для любых элементов a, b, c, d справедливо соотношение:

 Определение. Декартовым произведением множеств А и В называется множество всех упорядоченных пар (a, b), где аÎА, bÎB.

 

 Декартово произведение п равных множеств А будет называться п – й декартовой степенью множества А и обозначаться Аn.

 Определение. n – мерным отношением R на непустом множестве А называется подмножество Аn. Если R – n – мерное отношение на множестве А и (а1,а2,…аn)ÎR, то говорят, что отношение R выполняется для элементов а1,а2,…аn и записывают R а1а2…аn. Если n = 2, то такое отношение называется бинарным.

 Для бинарного отношения вместо общей записи Ra1a2 применяют запись а1Ra2.

Свойства бинарных отношений.

 Определение. Произведением двух бинарных отношений R и S, заданных на множестве А, называется множество

 Знак | называется штрих Шеффера и обозначает антиконъюнкцию.

Определение. Обратным (инверсным) отношением к отношению R, заданному на множестве А, называется отношение R-1, определяемое равенством:

 Если R, S и T – бинарные отношения на множестве А, то выполняются следующие равентсва:

Алгебраические структуры.

 Определение. На множестве А определена алгебраическая операция, если каждым двум элементам этого множества, взятым в определенном порядке, однозначным образом поставлен в соответствие некоторый третий элемент из этого же множества.

 Примерами алгебраических операций могут служить такие операции как сложение и вычитание целых чисел, сложение и вычитание векторов, матриц, умножение квадратных матриц, векторное умножение векторов и др.

 Отметим, что скалярное произведение векторов не может считаться алгебраической операцией, т.к. результатом скалярного произведения будет число, и числа не относятся к множеству векторов, к которому относятся сомножители.

 

 Определение. Множество А с определенной на нем алгебраической операцией (например, умножением) называется группой, если выполнены следующие условия:

 1) для любых трех элементов a, b, c Î A выполняется свойство ассоциативности:

 2) в множестве А существует такой элемент е, что для любого элемента а из этого множества выполняется равенcтво:

 3) для любого элемента а множества существует элемент а’ из этого же множества такой, что

 Различные множества могут являться группой относительно какой- либо операции и не являться группой относительно другой операции.

  Число элементов называется порядком группы.

 

 Определение. Между элементами множеств M и N установлено взаимно однозначное соответствие, если каждому элементу множества М поставлен в соответствие определенный элемент множества N, причем различным элементам одного множества соответсвуют различные элементы другого множества.

 Определение. Две группы M и N называются изоморфными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответсвие, при котором для любых двух элементов a, bÎ M и соответствующим им элементам a’, b’Î N элементу

с = ab будет соответствует элемент c’ = a’b’.

 При этом отображение группы М на группу N называется гомоморфизмом.

 Определение. Если операция, определенная в группе коммутативна, (т.е. для любых элементов a и b группы верно соотношение ab=ba), то такая группа называется коммутативной или абелевой группой.

  Определение. Множество R с двумя определенными в нем алгебраическими операциями, сложением и умножением, называется кольцом, если относительно операции сложения оно является абелевой группой, а операция умножения дистрибутивна, т.е. для любых элементов a, b и с Î R справедливы равенства:

 Если операция умножения, определенная в кольце коммутативна, то такое кольцо называется коммутативным кольцом.

 Определение. Полем называется коммутативное кольцо, в котором для любого ненулевого элемента a¹ 0 и любого элемента b существует единственный элемент х такой, что ax = b.

системы вселенной
Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач