Исследования характера поведения функций

Вычислить интеграл http://kurspr.ru/ Математика
Машиностроительное черчение
Выполнение сечений
Правила выполнения технических чертежей
Виды аксонометpических пpоекций
Эскиз детали
Нанесение размеров на чертежах
Чтение сборочных чертежей
Основные способы проецирования
Сопротивление материалов
Сопромат задачи
Сопротивление материалов примеры
Кинематика примеры решения задач
Статика примеры решения задач
Физика, электротехника
Электротехника
Электромагнетизм
Расчет режимов трехфазных цепей
Расчет электрических цепей постоянного и переменного тока
Методы расчета электрических цепей
Примеры  решения типовых задач по электротехнике
Физика оптика Курс лекций
Примеры решения задач по классической физике
Примеры решения задач контрольной работы по физике
Физика решение задач
Молекулярная физика и термодинамика
Курс лекций по атомной физике
Ядерная модель атома
Квантовая механика
Рентгеновские спектры
Первый газовый лазер
Металлы, диэлектрики и полупроводники по зонной теории.
Полупроводниковые диоды и триоды (транзисторы)
Радиоактивное излучение и его виды
Ядерные реакция

Понятие о ядерной энергетике

Информатика
Лекции Java
Язык JavaScript
Интернет
Язык PHP
Архитектура ПК
Высшая математика
Вычисление интегралов и рядов
Примеры вычисления интеграла
Примеры выполнения контрольной работы по математике
комплексные числа
Последовательности
Предел функции
Непрерывные функции
Дифференциальное исчисление
Формула Тейлора
Определенныеинтегралы
Двойной интеграл
Тройные интеграл
Криволинейные интегралы
Элементы теории поля
Интегралы от параметра
Элементы тензорного
исчисления
Примеры решения задач
Теория множеств
Построения графика функции
Элементарная математика
Интегралы
Кратные интегралы
Векторный анализ
Аналитическая геометрия
Интегральное исчисление
Дифферинциальные урав.
Элементарная математика
Математический анализ
Мат. анализа часть 3
Комплексные числа
 

 

 

Условие монотонности функции

Максимальные и минимальные значения функций ( экстремумы )

Исследование функций на экстремум по знаку высших производных Криволинейные интегралы

Выпуклость функции, точки перегиба

Асимптоты функций

Пример Вычислить работу силы при перемещении точки приложения силы вдоль заданной кривой L: от точки B до точки C, если значения параметра t в точках B и C заданы: . Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике

Пример

Построение графиков функций, заданных в полярной системе координат

Раскрытие неопределенностей

Использование правила Лопиталя

Примеры

Элементы высшей алгебры.

Основные понятия теории множеств.

 

 Определение. Множеством М называется объединение в единое целое определенных различимых объектов а, которые называются элементами множества.

а Π М

 Множество можно описать, указав какое – нибудь свойство, присущее всем элементам этого множества.

 Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обзначается Æ.

  Определение. Если все элементы множества А являются также элементами множества В, то говорят, что множество А включается (содержится) в множестве В.

 Определение. Если А Í В, то множество А называется подмножеством множества В, а если при этом А ¹ В, то множество А называется собственным подмножеством множества В и обозначается А Ì В.

 Для трех множеств А, В, С справедливы следующие соотношения.

Связь между включением и равенством множеств устанавливается следующим соотношением:

Здесь знак Ù обозначает конъюнкцию (логическое “и”).

Операции над множествами.

  Определение. Объединением множеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат хотя бы одномк из множеств А и В.

 Обозначается С = А È В.

 А

 В

 Геометрическое изображение множеств в виде области на плоскости называется диаграммой Эйлера – Венна.

  Определение. Пересечением множеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат каждому из множеств А и В.

 Обозначение С = А Ç В.

 А С В

 Для множеств А, В и С справедливы следующие свойства:

А Ç А = А È А = А; A È B = B È A; A Ç B = B Ç A;

(A Ç B) Ç C = A Ç (B Ç C); (A È B) È C = A È (B È C);

A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C); A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C);

A È (A Ç B) = A; A Ç (A È B) = A;

Æ = А; A Ç Æ = Æ;

 

 Определение. Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из элементов множества А, не принадлежащих множеству В.

 Обозначается С = А \ В.

 А В

 

Определение. Симметрической разностью множеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат в точности одному из множеств А или В.

 Обозначается А D В. 

А D В = (A \ B) È (B \ A)

 A B

 

Определение. СЕ называется дополнением множества А относительно множества Е, если А Í Е и CЕ = Е \ A.

 A E

 Для множеств А, В и С справедливы следующие соотношения:

A \ B Í A; A \ A = Æ; A \ (A \ B) = A Ç B;

A D B = B D A; A D B = (A È B) \ (A Ç B);

A \ (B È C) = (A \ B) Ç (A \ C); A \ (B Ç C) = (A \ B) È (A \ C);

(A È B) \ C = (A \ C) È (B \ C); (A Ç B) \ C = (A \ C) Ç (B \ C);

A \ (B \ C) = (A \ B) È (A Ç C); (A \ B) \ C = A \ (B È C);

(A D B) D C = A D (B D C); A Ç (B D C) = (A Ç B) D (A Ç C);

A È CEA = E; A Ç CEA = Æ; CEE = Æ; CEÆ = E; CECEA = A;

CE(A È B) = CEA Ç CEB; CE(A Ç B) = CEA È CEB;

 Пример. Исходя из определения равенства множеств и операций над множествами, доказать тождество и проверить его с помощью диаграммы Эйлера - Вейна.

 Из записанных выше соотношений видно, что

Æ= A \ В

 Что и требовалось доказать.

Для иллюстрации полученного результата построим диаграммы Эйлера – Вейна

 А В А В

 AÇB

  Пример. Исходя из определения равенства множеств и операций над множествами, доказать тождество.

A \ (B È C) = (A \ B) Ç (A \ C)

 Если некоторый элемент х Î А \ (В È С), то это означает, что этот элемент принадлежит множеству А, но не принадлежит множествам В и С.

 Множество А \ В представляет собой множество элементов множества А, не принадлежащих множеству В.

 Множество А \ С предсталяет собой множество элементов множества А, не принадлежащих множеству С.

 Множество (A \ B) Ç (A \ C) представляет собой множество элементов, которые принадлежат множеству А, но не принадлежат ни множеству В, ни множеству С.

  Таким образом, тождество можно считать доказанным.

Отношения и функции.

  Определение. Упорядоченной парой (a, b) двух элементов a и b называется множество {{a},{a, b}}.

 Для любых элементов a, b, c, d справедливо соотношение:

 Определение. Декартовым произведением множеств А и В называется множество всех упорядоченных пар (a, b), где аÎА, bÎB.

 

 Декартово произведение п равных множеств А будет называться п – й декартовой степенью множества А и обозначаться Аn.

 Определение. n – мерным отношением R на непустом множестве А называется подмножество Аn. Если R – n – мерное отношение на множестве А и (а1,а2,…аn)ÎR, то говорят, что отношение R выполняется для элементов а1,а2,…аn и записывают R а1а2…аn. Если n = 2, то такое отношение называется бинарным.

 Для бинарного отношения вместо общей записи Ra1a2 применяют запись а1Ra2.

Свойства бинарных отношений.

 Определение. Произведением двух бинарных отношений R и S, заданных на множестве А, называется множество

 Знак | называется штрих Шеффера и обозначает антиконъюнкцию.

Определение. Обратным (инверсным) отношением к отношению R, заданному на множестве А, называется отношение R-1, определяемое равенством:

 Если R, S и T – бинарные отношения на множестве А, то выполняются следующие равентсва:

Алгебраические структуры.

 Определение. На множестве А определена алгебраическая операция, если каждым двум элементам этого множества, взятым в определенном порядке, однозначным образом поставлен в соответствие некоторый третий элемент из этого же множества.

 Примерами алгебраических операций могут служить такие операции как сложение и вычитание целых чисел, сложение и вычитание векторов, матриц, умножение квадратных матриц, векторное умножение векторов и др.

 Отметим, что скалярное произведение векторов не может считаться алгебраической операцией, т.к. результатом скалярного произведения будет число, и числа не относятся к множеству векторов, к которому относятся сомножители.

 

 Определение. Множество А с определенной на нем алгебраической операцией (например, умножением) называется группой, если выполнены следующие условия:

 1) для любых трех элементов a, b, c Î A выполняется свойство ассоциативности:

 2) в множестве А существует такой элемент е, что для любого элемента а из этого множества выполняется равенcтво:

 3) для любого элемента а множества существует элемент а’ из этого же множества такой, что

 Различные множества могут являться группой относительно какой- либо операции и не являться группой относительно другой операции.

  Число элементов называется порядком группы.

 

 Определение. Между элементами множеств M и N установлено взаимно однозначное соответствие, если каждому элементу множества М поставлен в соответствие определенный элемент множества N, причем различным элементам одного множества соответсвуют различные элементы другого множества.

 Определение. Две группы M и N называются изоморфными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответсвие, при котором для любых двух элементов a, bÎ M и соответствующим им элементам a’, b’Î N элементу

с = ab будет соответствует элемент c’ = a’b’.

 При этом отображение группы М на группу N называется гомоморфизмом.

 Определение. Если операция, определенная в группе коммутативна, (т.е. для любых элементов a и b группы верно соотношение ab=ba), то такая группа называется коммутативной или абелевой группой.

  Определение. Множество R с двумя определенными в нем алгебраическими операциями, сложением и умножением, называется кольцом, если относительно операции сложения оно является абелевой группой, а операция умножения дистрибутивна, т.е. для любых элементов a, b и с Î R справедливы равенства:

 Если операция умножения, определенная в кольце коммутативна, то такое кольцо называется коммутативным кольцом.

 Определение. Полем называется коммутативное кольцо, в котором для любого ненулевого элемента a¹ 0 и любого элемента b существует единственный элемент х такой, что ax = b.

системы вселенной
Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач