Непрерывные функции Математика курс лекций

Энергия деформированного тела Физика лабораторные работы
Машиностроительное черчение
Выполнение сечений
Правила выполнения технических чертежей
Виды аксонометpических пpоекций
Эскиз детали
Нанесение размеров на чертежах
Чтение сборочных чертежей
Основные способы проецирования
Сопротивление материалов
Сопромат задачи
Сопротивление материалов примеры
Кинематика примеры решения задач
Статика примеры решения задач
Физика, электротехника
Электротехника
Электромагнетизм
Расчет режимов трехфазных цепей
Расчет электрических цепей постоянного и переменного тока
Методы расчета электрических цепей
Примеры  решения типовых задач по электротехнике
Физика оптика Курс лекций
Примеры решения задач по классической физике
Примеры решения задач контрольной работы по физике
Физика решение задач
Молекулярная физика и термодинамика
Курс лекций по атомной физике
Ядерная модель атома
Квантовая механика
Рентгеновские спектры
Первый газовый лазер
Металлы, диэлектрики и полупроводники по зонной теории.
Полупроводниковые диоды и триоды (транзисторы)
Радиоактивное излучение и его виды
Ядерные реакция

Понятие о ядерной энергетике

Информатика
Лекции Java
Язык JavaScript
Интернет
Язык PHP
Архитектура ПК
Высшая математика
Вычисление интегралов и рядов
Примеры вычисления интеграла
Примеры выполнения контрольной работы по математике
комплексные числа
Последовательности
Предел функции
Непрерывные функции
Дифференциальное исчисление
Формула Тейлора
Определенныеинтегралы
Двойной интеграл
Тройные интеграл
Криволинейные интегралы
Элементы теории поля
Интегралы от параметра
Элементы тензорного
исчисления
Примеры решения задач
Теория множеств
Построения графика функции
Элементарная математика
Интегралы
Кратные интегралы
Векторный анализ
Аналитическая геометрия
Интегральное исчисление
Дифферинциальные урав.
Элементарная математика
Математический анализ
Мат. анализа часть 3
Комплексные числа
 

 

 

Непрерывность в точке и на множестве

Простейшие свойства непрерывных функций

Ограниченность непрерывной функции. Теоремы Вейерштрасса

Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции

Критерий непрерывности монотонной функции

Непрерывность обратной функции

Непрерывность элементарных функций

примеры

Равномерная непрерывность

Введение в математический анализ.

Числовая последовательность.

  Определение. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число хn, то говорят, что задана последовательность

x1, х2, …, хn = {xn}

  Общий элемент последовательности является функцией от n.

xn = f(n)

Таким образом последовательность может рассматриваться как функция.

Задать последовательность можно различными способами – главное, чтобы был указан способ получения любого члена последовательности.

 Пример. {xn} = {(-1)n} или {xn} = -1; 1; -1; 1; …

 {xn} = {sinpn/2} или {xn} = 1; 0; 1; 0; …

Для последовательностей можно определить следующие операции:

Умножение последовательности на число m: m{xn} = {mxn}, т.е. mx1, mx2, …

Сложение (вычитание) последовательностей: {xn} ± {yn} = {xn ± yn}.

Произведение последовательностей: {xn}×{yn} = {xn×yn}.

Частное последовательностей:  при {yn} ¹ 0.

Ограниченные и неограниченные последовательности.

 Определение. Последовательность {xn} называется ограниченной, если существует такое число М>0, что для любого n верно неравенство:

т.е. все члены последовательности принадлежат промежутку (-М; M).

 Определение. Последовательность {xn}называется ограниченной сверху, если для любого n существует такое число М, что

xn £ M.

 Определение. Последовательность {xn}называется ограниченной снизу, если для любого n существует такое число М, что

xn ³ M

 Пример. {xn} = n – ограничена снизу {1, 2, 3, … }.

 Определение. Число а называется пределом последовательности {xn}, если для любого положительного e>0 существует такой номер N, что для всех n > N выполняется условие:

Это записывается: lim xn = a.

 В этом случае говорят, что последовательность {xn}сходится к а при n®¥.

 Свойство: Если отбросить какое- либо число членов последовательности, то получаются новые последовательности, при этом если сходится одна из них, то сходится и другая.

 Пример. Доказать, что предел последовательности lim .

Пусть при n > N верно , т.е. . Это верно при , таким образом, если за N взять целую часть от , то утверждение, приведенное выше, выполняется.

  Пример. Показать, что при n®¥ последовательность 3,  имеет пределом число 2.

 Итого: {xn}= 2 + 1/n;  1/n = xn – 2

Очевидно, что существует такое число n, что , т.е. lim {xn} = 2.

 Теорема. Последовательность не может иметь более одного предела.

 Доказательство. Предположим, что последовательность {xn}имеет два предела a и b, не равные друг другу.

xn ® a; xn ® b; a ¹ b.

Тогда по определению существует такое число e >0, что

Запишем выражение:

А т.к. e- любое число, то , т.е. a = b. Теорема доказана.

 Теорема. Если xn ® a, то .

 Доказательство. Из xn ® a следует, что . В то же время:

, т.е.  , т.е. . Теорема доказана.

 Теорема. Если xn ® a, то последовательность {xn} ограничена.

Следует отметить, что обратное утверждение неверно, т.е. из ограниченности последовательности не следует ее сходимость.

 Например, последовательностьне имеет предела, хотя

Монотонные последовательности.

 Определение. 1) Если xn+1 > xn для всех n, то последовательность возрастающая.

 2)Если xn+1 ³ xn для всех n, то последовательность неубывающая.

  3)Если xn+1 < xn для всех n, то последовательность убывающая.

 4)Если xn+1 £ xn для всех n, то последовательность невозрастающая

Все эти последовательности называются монотонными. Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными.

 Пример. {xn} = 1/n – убывающая и ограниченная

 {xn} = n – возрастающая и неограниченная.

  Пример. Доказать, что последовательность {xn}= монотонная возрастающая.

 Найдем член последовательности {xn+1}=

Найдем знак разности: {xn}-{xn+1}=

, т.к. nÎN, то знаменатель положительный при любом n.

Таким образом, xn+1 > xn. Последовательность возрастающая, что и следовало доказать.

 Пример. Выяснить является возрастающей или убывающей последовательность

{xn} = .

 Найдем . Найдем разность

, т.к. nÎN, то 1 – 4n <0, т.е. хn+1 < xn. Последовательность монотонно убывает.

Следует отметить, что монотонные последовательности ограничены по крайней мере с одной стороны.

 Теорема. Монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

 Доказательство. Рассмотрим монотонную неубывающую последовательность

х1 £ х2 £ х3 ££ хn £ xn+1 £

Эта последовательность ограничена сверху: xn £ M, где М – некоторое число.

Т.к. любое, ограниченное сверху, числовое множество имеет четкую верхнюю грань, то для любого e>0 существует такое число N, что xN > a - e, где а – некоторая верхняя грань множества.

Т.к. {xn}- неубывающая последовательность, то при N > n а - e < xN £ xn,

xn > a - e.

Отсюда a - e < xn < a + e

-e < xn – a < e или ôxn - aô< e, т.е. lim xn = a.

Для остальных монотонных последовательностей доказательство аналогично.

Теорема доказана.

 

Число е.

Рассмотрим последовательность {xn} = .

Если последовательность {xn} монотонная и ограниченная, то она имеет конечный предел.

По формуле бинома Ньютона:

или, что то же самое

Покажем, что последовательность {xn} – возрастающая. Действительно, запишем выражение xn+1 и сравним его с выражением xn:

 Каждое слагаемое в выражении xn+1 больше соответствующего значения xn, и, кроме того, у xn+1 добавляется еще одно положительное слагаемое. Таким образом, последовательность {xn} возрастающая.

 Докажем теперь, что при любом n ее члены не превосходят трех: xn < 3.

Итак, последовательность - монотонно возрастающая и ограниченная сверху, т.е. имеет конечный предел. Этот предел принято обозначать буквой е.

Из неравенства  следует, что е £ 3. Отбрасывая в равенстве для {xn} все члены, начиная с четвертого, имеем:

переходя к пределу, получаем

 Таким образом, число е заключено между числами 2,5 и 3. Если взять большее количество членов ряда, то можно получить более точную оценку значения числа е.

Можно показать, что число е иррациональное и его значение равно 2,71828…

Аналогично можно показать, что , расширив требования к х до любого действительного числа:

Предположим: 

Найдем  

Число е является основанием натурального логарифма.

Выше представлен график функции y = lnx.

Связь натурального и десятичного логарифмов.

 Пусть х = 10у, тогда lnx = ln10y , следовательно lnx = yln10 

 у = , где М = 1/ln10 » 0,43429…- модуль перехода.

 
Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач