Предел функции. Непрерывность Математика курс лекций

Расчет переходных процессов в электрических цепях
Машиностроительное черчение
Выполнение сечений
Правила выполнения технических чертежей
Виды аксонометpических пpоекций
Эскиз детали
Нанесение размеров на чертежах
Чтение сборочных чертежей
Основные способы проецирования
Сопротивление материалов
Сопромат задачи
Сопротивление материалов примеры
Кинематика примеры решения задач
Статика примеры решения задач
Физика, электротехника
Электротехника
Электромагнетизм
Расчет режимов трехфазных цепей
Расчет электрических цепей постоянного и переменного тока
Методы расчета электрических цепей
Примеры  решения типовых задач по электротехнике
Физика оптика Курс лекций
Примеры решения задач по классической физике
Примеры решения задач контрольной работы по физике
Физика решение задач
Молекулярная физика и термодинамика
Курс лекций по атомной физике
Ядерная модель атома
Квантовая механика
Рентгеновские спектры
Первый газовый лазер
Металлы, диэлектрики и полупроводники по зонной теории.
Полупроводниковые диоды и триоды (транзисторы)
Радиоактивное излучение и его виды
Ядерные реакция

Понятие о ядерной энергетике

Информатика
Лекции Java
Язык JavaScript
Интернет
Язык PHP
Архитектура ПК
Высшая математика
Вычисление интегралов и рядов
Примеры вычисления интеграла
Примеры выполнения контрольной работы по математике
комплексные числа
Последовательности
Предел функции
Непрерывные функции
Дифференциальное исчисление
Формула Тейлора
Определенныеинтегралы
Двойной интеграл
Тройные интеграл
Криволинейные интегралы
Элементы теории поля
Интегралы от параметра
Элементы тензорного
исчисления
Примеры решения задач
Теория множеств
Построения графика функции
Элементарная математика
Интегралы
Кратные интегралы
Векторный анализ
Аналитическая геометрия
Интегральное исчисление
Дифферинциальные урав.
Элементарная математика
Математический анализ
Мат. анализа часть 3
Комплексные числа
 

 

 

Основные понятия, относящиеся к функции

Ограниченность. Точные грани

Элементарные функции

Определение предела по Коши

Односторонние пределы. Предел слева, предел справа

Определение предела по Гейне

Критерий Коши существования предела функции

Локальная ограниченность функции, имеющей конечный предел

Сохранение знака функции, имеющей ненулевой предел в точке

Предел сложной функции

Свойства пределов

Арифметические операции над пределами

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Замечательные пределы

Эквивалентные бесконечно малые

Основные формулы эквивалентности бесконечно малых

Логарифмической функцией

Показательная функция

Степенная функция

Задача Найти пределы функций

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Сравнение бесконечно малых

Пример. Пусть . Сравнить бесконечно малые  и .

 Пример Доказать, что приращение функций  и  при x>0 и при  будут одного порядка малости (, ). При каком значении x приращения  и  эквивалентны?

Пример Доказать, что при  функции  и  будут бесконечно малыми одного порядка. Будут ли они при этом эквивалентны?

 Пример Пусть . Определить порядок малости относительно функции  следующих бесконечно малых функций:

Формулы эквивалентности для приближенных вычислений

Булевы функции.

  Определение. Булевой функцией f(X1, X2, …, Xn) называется называется произвольная n – местная функция, аргументы и значения которой принадлежат множеству {0, 1}. еще

  Вообще говоря между логическими высказываниями, логическими связками и булевыми функциями просматривается явная аналогия. Если логические функции могут принимать значения истинно или ложно, то для булевой функции аналогами этих значений будут значения 0 или 1.

 Для булевых функций также можно составить таблицы значений, соответствующим основным логическим операциям.

X1

X2

ØX1

X1&X2

X1ÚX2

X1ÞX2

X1ÛX2

1

1

0

1

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

1

1

0

1

1

0

0

0

1

0

0

1

1

 

Исчисление предикатов.

 

 Определение. Предикатом P(x1, x2, …, xn) называется функция, переменные которой принимают значения из некоторого множества М, а сама функция принимает два значения: И (истина) и Л (ложь), т.е.

 Предикат от п аргументов называется п – местным предикатом. Высказывания считаются нуль – местными предикатами.

 Над предикатами можно производить обычные логические операции, в результате которых получаются новые предикаты.

 Кроме обычных логических операций к предикатам применяются также специальные операции, называемые кванторами.

 Кванторы бывают двух видов:

 1) Квантор общности. Обозначается ("х)Р(х). Квантором общности называется высказывание истинное, когда Р(х) истинно для каждого элемента х из множества М, и ложное – в противном случае.

 2) Квантор существования. Обозначается ($х)Р(х). Квантором существования называется высказывание, истинное, когда существует элемент из множества М, для которого Р(х) истинно, и ложное в противном случае.

 Операцию связывания квантором можно применять и к предикатам от большего числа переменных.

 Для формул логики предикатов сохраняется справедливость всех правил равносильных преобразований логики высказываний. Кроме того, справедливы следующие свойства:

 1) Перенос квантора через отрицание.

Ø("x)A(x) º ($x)ØA(x);  Ø($x)A(x) º ("x)ØA(x);

Вынесение квантора за скобки.

($х)(А(х) & B) º ($x)A(x) & B; ("x)(A(x) & B) º ("x)A(x) & B;

($х)(А(х) Ú B) º ($x)A(x) Ú B; ("x)(A(x) Ú B) º ("x)A(x) Ú B;

 3) Перестановка одноименных кванторов.

("y)("x)A(x,y) º ("x)("y)A(x,y); ($y)($x)A(x,y) º ($x)($y)A(x,y);

 

 4) Переименование связанных переменных. Если заменить связанную переменную формулы А другой переменной, не входящей в эту формулу, в кванторе и всюду в области действия квантора получаем формулу, равносильную А.

 Исчисление предикатов базируется на приведенных выше свойствах и правилах, называемых аксиомами.

  Какими бы ни были формулы А и В для них справедливы следующие аксиомы:

  1) A Þ (B Þ A);

 2) (A Þ (B Þ C)) Þ ((A Þ B) Þ (A Þ C));

 3) (ØB Þ ØA) Þ ((ØB Þ A) Þ B);

 4) ("xi)A(xi) Þ A(xj), где формула А(хi) не содержит переменной xi.

 5) A(xi) Þ ($xj)A(xj), где формула А(хi) не содержит переменной xi.

Конечные графы и сети.

Основные определения.

  Определение. Если на плоскости задать конечное множество V точек и конечный набор линий Х, соединяющих некоторые пары из точек V, то полученная совокупность точек и линий будет называться графом.

 При этом элементы множества V называются вершинами графа, а элементы множества Х – ребрами.

 В множестве V могут встречаться одинаковые элементы, ребра, соединяющие одинаковые элементы называются петлями. Одинаковые пары в множестве Х называются кратными (или параллельными) ребрами. Количество одинаковых пар

(v, w) в Х называется кратностью ребра (v, w).

 Множество V и набор Х определяют граф с кратными ребрами – псевдограф.

G = (V, X)

 Псевдограф без петель называется мультиграфом.

 Если в наборе Х ни одна пара не встречается более одного раза, то мультиграф называется графом.

 Если пары в наборе Х являются упорядочными, то граф называется ориентированным или орграфом.

 Графу соответствует геометрическая конфигурация. Вершины обозначаются точками (кружочками), а ребра – линиями, соединяющими соответствующие вершины.

Определение. Если х = {v, w} – ребро графа, то вершины v, w называются концами ребра х.

 Если х = (v, w) – дуга орграфа, то вершина v – начало, а вершина w – конец дуги х.

 

 Определение. Вершины v, w графа G = (V, X) называются смежными, если {v,w}ÎX. Два ребра называются смежными, если они имеют общюю вершину.

 Определение. Степенью вершины графа называется число ребер, которым эта вершина принадлежит. Вершина называется изолированной, если если ее степень равна единице и висячей, если ее степень равна нулю.

 Определение. Графы G1(V1, X1) и G2(V2, X2) называются изоморфмными, если существует взаимно однозначное отображение j: V1 ® V2, сохраняющее смежность.

 Определение. Маршрутом (путем) для графа G(V, X) называется последовательность v1x1v2x2v3…xkvk+1. Маршрут называется замкнутым, если его начальная и конечная точки совпадают. Число ребер (дуг) маршрута (пути) графа называется длиной маршрута (пути).

 Определение. Незамкнутый маршрут (путь) называется цепью. Цепь, в которой все вершины попарно различны, называется простой цепью.

 Определение. Замкнутый маршрут (путь) называется циклом (контуром). Цикл, в котором все вершины попарно различны, называется простым циклом.

Матрицы графов.

 Пусть D = (V, X) – орграф, где V = {v1, …, vn}, X = {x1, … , xm}.

  Определение. Матрицей смежности орграфа D называется квадратичная матрица A(D) = [aij] порядка п, у которой

 Определение. Если вершина v является крнцом ребра х, то говорят, что v и х – инциндентны.

 Определение. Матрицей инциндентности оргафа D называется матрица размерности п´т B(D) = [bij], у которой

 Пример. Записать матрицы смежности и инцидентности для графа, изображенного на рисунке.

 x1

 


 v1 x4 v2

  x2

 x3

 v3

 Составим матрицу смежности:

v1

v2

v3

v1

0

1

0

v2

1

0

1

v3

1

0

0

 Т.е.  - матрица смежности.

 Матрица инциндентности:

x1

x2

x3

x4

v1

-1

0

1

1

v2

1

-1

0

-1

v3

0

1

-1

0

 Т.е.

 Если граф имеет кратные дуги (ребра), то в матрице смежности принимается aij=k, где k – кратность дуги (ребра).

 С помощью матриц смежности и инциндентности всегда можно полностью определеить граф и все его компоненты. Такой метод задания графов очень удобен для обработки данных на ЭВМ.

 

Пример. Задана симметрическая матрица Q неотрицательных чисел. Нарисовать на плоскости граф G(V, X), имеющий заданную матицу Q своей матрицей смежности. Найти матрицу инциндентности R графа G. Нарисованть также орграф , имеющий матрицу смежности Q, определить его матрицу инциндентности С.

x4

 x3

 v2

 x2 x5

  x6

 x1 v1 v3 x7 x8

 x10

 x11 x9

 v4

 Составим матрицу инциндентности:

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

x10

x11

v1

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

v2

0

1

1

1

1

1

0

0

0

1

0

v3

0

0

0

0

1

1

1

1

1

0

0

v4

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

 Итого:

 Построим теперь ориентированный граф с заданной матрицей смежности.

 

 Составим матрицу инциндентности для ориетированного графа.

Элемент матрицы равен 1, если точка является концом дуги, -1 – если началом дуги, если дуга является петлей, элемент матрицы запишем как ±1.

 Таким образом, операции с графами можно свести к операциям с их матрицами.

Достижимость и связность.

 Определение. Вершина w графа D (или орграфа) называется достижимой из вершины v, если либо w=v, либо существует путь из v в w(маршрут, соединяющий v и w).

 Определение. Граф (орграф) называется связным, если для любых двух его вершин существует маршрут (путь), который их связывает. Орграф называется односторонне связным, если если для любых двух его вершин по крайней мере одна достижима из другой.

 Определение. Псевдографом D(V, X), ассоциированным с ориентированным псевдографом, называется псевдограф G(V, X0) в котором Х0 получается из Х заменой всех упорядоченных пар (v, w) на неупорядоченные пары (v, w).

 Определение. Орграф называется слабо связным, если связным является ассоциированный с ним псевдограф.

Эйлеровы и гамильтоновы графы.

 Определение. Цепь (цикл) в псевдографе G называется эйлеровым, если она проходит по одному разу через каждое ребро псевдографа G.

  Теорема. Для того, чтобы связный псевдограф G обладал эйлеровым циклом, необходимо и достаточно, чтобы степени его вершин были четными.

 Теорема. Для того, чтобы связный псевдограф G обладал эйлеровой цепью, необходимо и достаточно, чтобы он имел ровно две вершины нечетной степени.

 Определение. Цикл (цепь) в псевдографе G называется гамильтоновым, если он проходит через каждую вершину псевдографа G ровно один раз.

Пример.

 


  - в графе есть и эйлеровый и гамильтонов циклы

 


  - в графе есть эйлеров цикл, но нет гамильтонова

 - в графе есть гамильтонов, но нет эйлерова цикла

 - в графе нет ни эйлерова, ни гамильтонова цикла

  Граф G называется полным, если если каждая его вершина смежна со всеми остальными вершинами. В полном графе всегда существуют гамильтоновы цмклы.

 Также необходимым условием существования гамильтонова цикла явояется связность графа.

Деревья и циклы.

 Определение. Граф G называется деревом, если он является связным и не имеет циклов. Граф G, все компоненты связности которого являются деревьями, называется лесом.

 У графа, который является деревом, число ребер на единицу меньше числа вершин. Дерево не содержит циклов, любые две его вершины можно соеденить единственной простой цепью.

 


  Если у дерева G есть, по крайней мере, одно ребро, то у него обязательно найдется висячая вершина, т.к. в противном случае в графе будет цикл.

 Для графов, которые сами по себе не являются деревьями, вводится понятие остовного дерева.

  Определение. Остовным деревом связного графа G называется любой его подграф, содержащий все вершины графа G и являющийся деревом.

 Пусть G – связный граф. Тогда остовное дерево графа G (если оно существует) должно содержать n(G)-1 ребер.

  Таким образом, любое остовное дерево графа G есть результат удаления из графа G ровно m(G) - (n(G) - 1) = m(G) – n(G) + 1 ребер.

 Число v(G) = m(G) – n(G) + 1 называется цикломатическим числом связного графа G.

 Одной из самых распространенных задач является задача построения остовного дерева минимальной длины графа. Для решения этой задачи применяется следующий алгоритм.

 1) Выберем в графе G ребро минимальной длины. Вместе с инциндентными ему вершинами оно образует подграф G2.

 2) Строим граф G3, добавляя к графу G2 новое ребро минимальной длины, выбранное среди ребер графа G, каждое из которых инциндентно какой либо вершине графа G2, и одновременно инциндентно какой – либо вершине графа G, не содержащейся в графе G2.

 3) Строим графы G4, G5, …, Gn, повторяя действия пункта 2 до тех пор, пока не переберем все вершины графа G.

 Пример. Определить минимальное остовное дерево нагруженного графа.

 Граф называется нагруженным, если на множестве его дуг задана некоторая функция, которая называется весовой функцией, и определяет длину дуги.

 В нашем примере – весовая функция определяет длины дуг числами 1, 2, 3, 4, 5.

 v2 2 v3

 


 

  На четвертом шаге алгоритма получили дерево G5, которое соединяет все вершины исходного графа. Таким образом, дерево G5 , будет минимальным остовным деревом графа G.

Элементы топологии.

 Топология изучает понятия непрерывности и близости с абстрактной точки зрения.

 

 Определение. Окрестностью точки р называется произвольное множество U, содержащее открытый шар (не включая границу) с центром в точке р.

 Окрестностью на плоскости, очевидно, является открытый круг с центром в точке р.

 Из определения окрестности вытекают следующие очевидные свойства:

 1) Точка р принадлежит любой своей окрестности.

  2) Если U – окрестность точки р, а V É U, то V – тоже окрестность точки р.

  3) Если U и V – окрестности точки р, то их пересечение U Ç V тоже будет окрестностью точки р.

 4) Если U – окрестность точки р, то можно найти такую окрестность V точки р, что W = V Ì U является окрестностью является окрестностью каждой из своих точек.

 Определение. Топологическим пространством незывается множество Е, каждая точка которого р имеет набор подмножеств множества Е, называемых окрестностями точки р и удовлетворяющих приведенным выше свойствам.

 Частным случаем топологического пространства является метрическое пространство.

 Определение. Пусть Е – топологическое пространство, а F – его подмножество. Пусть р – точка множества F. Назовем подмножество U множества F окрестностью точки р в F, если U=FÇV, где V – окрестность точки р в E.

 При этом множество F называется подпространством пространства Е.

Метрическое пространство.

 Определение. Метрикой на множестве Е называется функция f(x, y), определенная на декартовом произведении Е´Е, значениями которой являются неотрицательные действительные числа, удовлетворяющая при любых значениях х, у, z из множества Е следующим условиям:

 1) f(x, y) = f(y, x)

 2) f(x, y) + f(y, x) ³ f(x, y)

 3) f(x, y) = 0 тогда и только тогда, когда х = у.

Определение. Метрическим пространством называется множество Е с заданной на нем метрикой f.

 Определение. Число r(x, y), где х ÎЕ и у Î Е – заданные точки, называется расстоянием между этими точками.

 Определение. Пусть r – положительное число. Множество {y: r(x, y) < r} называется открытым шаром радиуса r с центром в точке х; множество {y: r(x, y) £ r} – замкнутым шаром радиуса r с центром в точке х.

 Например, для трехмерного евклидова пространства R3 метрика определяется как , где х(х1, х2, x3) Î R3 и y(y1, y2, y3) Î R3.

Открытые и замкнутые множества.

 

  Определение. Пусть Е – топологическое пространство, а U – его подмножество. Множество U называется открытым, если оно является окрестностью для любой точки rÎU.

 Определение. Пусть Е – топологическое пространство, а F – его подмножество. Множество F называется замкнутым, если множество E \ F – открыто.

 Отметим следующие свойства:

 1) Объединение любой совокупности открытых множеств открыто.

 2) Пересечение конечного числа открытых множеств открыто.

 3) Пересечение любой совокупности замкнутых множеств замкнуто.

 4) Объединение конечного числа замкнутых множеств замкнуто.

  Определение. Если А – любое множество в топологическом пространстве Е, то объединение всех открытых множеств, содержащихся в А, открыто. Это объединение называется внутренностью множества А. Обозначается IntA. Это объединение будет наибольши открытым множеством, содержащимся в А.

 Определение. Множество  называется замыканием множества А. Множество FrA = CA называется границей множества А.

Непрерывные отображения.

 Пусть Е и F – топологические пространства, и пусть f – отображение пространства Е в F.

f: E ® F.

  Непрерывность отображения состоит в том, что точки, близкие друг к другу в множестве Е, отодражаются в точки, близкие друг к другу в множестве F.

 Определение. Отображение f: E ® F называется непрерывным в точке р, если для любой окрестности V точки f(p) в множестве F существует такая окрестность U точки в множестве Е, что f(U) Ì V. Отображение f называется непрерывным, если оно непрерывно в каждой точке пространства Е.

  Особое значение имеют те непрерывности отображения, для которых существует непрерывное обратное отображение.

 Определение. Если f – взаимно одноначное отображение пространства Е в F, то существует обратное отображение g пространства F в E. Если и f и g непрерывны, то отбражение f называется гомеоморфизмом, а пространства Е и F – гомеоморфные.

 Гомеоморфизм между множествами устанавливает взаимно однозначное соответствие между окрестностями, закрытыми и открытыми подмножествами этих множеств.

Топологические произведения.

 Пусть E и F – топологические пространства. Множество E´F определяется как множество пар (p,q), где pÎE, a qÎF. Оно превращается в топологическое пространство следующим образом: если (p,q) Î E´F, то окрестность точки (p,q) – это любое множество, содержащее множество вида U´V, где U – окрестность точки p в E, a V– окрестность q в F.

 Определение. Множество E´F, превращенное в топологическое пространство только что описанным способом, называется топологическим произведением пространств E и F.

 Например, в трехмерном евклидове пространстве тор является топологическим произведением окружности на себя.

Связность.

 Определение. Пространство E называется связным, если его нельзя представить в виде объединения двух непустых непересекающихся множеств, открытых в E. Множество в топологическом пространстве называется связным, если оно связно как подпространство.

 

 Если Е и F – связные пространства, то произведение Е ´ F также связно.

Компактность.

 Понятие компактности обобщает свойство быть замкнутым и ограниченным множеством в евклидовом пространстве.

Определение. Топологическое пространство называется хаусдорфовым, если оно обладает следующим свойством: каковы бы ни были две различные точки p и q, существует такая окрестность  U точки p и такая окрестность V точки q, что UÇV=Æ.

 Любое евклидово пространство является хаусдорфовым. 

 Любое подпространство евклидова пространства хаусдорфово. На самом деле любое подпространство любого хаусдорфова пространства хаусдорфово.

  Прежде чем определять компактность, приведем несколько предварительных определений.

  Определение. Покрытие топологического пространства E – набор множеств из E, объединение которых дает все пространство E. Оно называется открытым покрытием, если каждое множество в наборе открыто.

 Определение. Пусть дано покрытие топологического пространства. Подпокрытием называется покрытие, все множества которого принадлежат данному покрытию.

 Определение. Компактным пространством называется хаусдорфово пространство, обладающее тем свойством, что каждое его открытое покрытие содержит конечное подпокрытие, т.е. покрытие, состоящее из конечного числа множеств. Множество в топологическом пространстве называется компактным, если оно является компактным подпространством.

 Компактное подмножество евклидова пространства должно быть замкнутым и ограниченным. Если перемножаемые компактные пространства A и B лежат в евклидовых пространствах размерностей  и , то их произведение есть подпространство в -мерном пространстве. Так как пространства A и B компактны, они замкнуты и ограничены. Поэтому их произведение является замкнутым и ограниченным подмножеством евклидова пространства. Следовательно, A´B компактно.

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач