Линейная и векторная алгебра http://mashdet.ru/
Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

Теоремы о среднем для дифференцируемых функций

Теорема Ролля о нуле производной Исследовать поведение функции в окрестности точки с помощью формулы Тейлора: f(x)=  ln2x, x0 =1. Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Теорема. Если f непрерывна на [a,b], дифференцируема на (a,b) и f(a)=f(b). Тогда

$ x0Î(a,b):f¢(x0)=0.

Доказательство. Положим , . Хотя бы одна из точек x1, x2 внутренняя и для этой точки утверждение следует из теоремы Ферма.

3.Теорема Лагранжа о конечных приращениях Составим уравнение Математика решение задач прямой AD. Аналитическая геометрия

Теорема. Если f непрерывна на [a,b], дифференцируема на (a,b), то

$xÎ(a,b):f(b)-f(a)=f¢(x)(b-a).

Доказательство. Рассмотрим функцию

. Для этой функции F(a)=F(b)=0, и к ней применима теорема Ролля

.

Геометрическая интерпретация.

Существует точка, касательная в которой, параллельна хорде, соединяющей точки A и B графика.

 

Следствие 1.Если f непрерывна на [a,b], дифференцируема на (a,b) и f¢(x)º0 на (a,b), то f(x)ºconst.

Применяя теорему к произвольному отрезку [x0,x], где x0 произвольная фиксированная точка, получим f(x) - f(x0)=f¢(x)(x - x0)=0, т.е. f(x) = f(x0).

Следствие 2. Если f непрерывна на [a,b], дифференцируема на (a,b) и f¢(x)=g¢(x) на (a,b), то f(x)=g(x)+ const.

 Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус и нижнюю вершину эллипса, заданного уравнением:

Координаты нижней вершины: x = 0; y2 = 16; y = -4.

Координаты левого фокуса: c2 = a2 – b2 = 25 – 16 = 9; c = 3; F2(-3; 0).

Уравнение прямой, проходящей через две точки:

 Пример. Составить уравнение эллипса, если его фокусы F1(0; 0), F2(1; 1), большая ось равна 2.

 Уравнение эллипса имеет вид: . Расстояние между фокусами:

2c = , таким образом, a2 – b2 = c2 = ½

по условию 2а = 2, следовательно а = 1, b =  

Итого: .

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач