Разъемные соединения http://kursmat.ru/
Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

Теоремы о среднем для дифференцируемых функций

 Теорема Ферма о нуле производной Для функции y(x), заданной неявно уравнением xey  yex+x=0, найти y¢x и y¢¢xx (аналитические выражения и значения в точке x0=0). Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Теорема. Если f(x) – определена на (a,b) и дифференцируема в точке x0Î(a,b), принимает в точке x0 наибольшее или наименьшее значение, то f¢(x0)=0.

Доказательство. Для случая наименьшего значения

f¢(x0+0)=³ 0, f¢(x0-0)= £ 0 Þ f¢(x0)=0 Преобразование декартовых прямоугольных координат на плоскости

 

Геометрическая интерпретация

 

Даны три последовательныеМатематика решение задач вершины параллелограмма А(2;-3), В(5;1),С(3;-4). Аналитическая геометрия

Эллипс.

 Определение. Эллипсом называется линия, заданная уравнением .

 Определение. Фокусами называются такие две точки, сумма расстояний от которых до любой точки эллипса есть постоянная величина.

 у

 М

 r1 

 r2

 F1  O F2 х

F1, F2 – фокусы. F1 = (c; 0); F2(-c; 0)

с – половина расстояния между фокусами;

a – большая полуось;

b – малая полуось.

  Теорема. Фокусное расстояние и полуоси эллипса связаны соотношением:

a2 = b2 + c2.

 Доказательство: В случае, если точка М находится на пересечении эллипса с вертикальной осью, r1 + r2 = 2(по теореме Пифагора). В случае, если точка М находится на пересечении эллипса с горизонтальной осью, r1 + r2 = a – c + a + c. Т.к. по определению сумма r1 + r2 – постоянная величина, то , приравнивая, получаем:

a2 = b2 + c2

r1 + r2 = 2a.

 Определение. Форма эллипса определяется характеристикой, которая является отношением фокусного расстояния к большей оси и называется эксцентриситетом.

Е = с/a.

Т.к. с < a, то е < 1.

 Определение. Величина k = b/a называется коэффициентом сжатия эллипса, а величина 1 – k = (a – b)/a называется сжатием эллипса.

Коэффициент сжатия и эксцентриситет связаны соотношением: k2 = 1 – e2.

 Если a = b (c = 0, e = 0, фокусы сливаются), то эллипс превращается в окружность.

  Если для точки М(х1, у1) выполняется условие: , то она находится внутри эллипса, а если , то точка находится вне эллипса.

 Теорема. Для произвольной точки М(х, у), принадлежащей эллипсу верны соотношения:

r1 = a – ex, r2 = a + ex.

 Доказательство. Выше было показано, что r1 + r2 = 2a. Кроме того, из геометрических соображений можно записать:

После возведения в квадрат и приведения подобных слагаемых:

Аналогично доказывается, что r2 = a + ex. Теорема доказана.

 С эллипсом связаны две прямые, называемые директрисами. Их уравнения:

x = a/e; x = -a/e.

 Теорема. Для того, чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы отношение расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету е.

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач