Математическая логика Примеры решения задач
Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

Непрерывные функции

Непрерывность обратной функции.

Еще раз определение обратной функции. Пусть f(x) определена на X, Y – множество ее значений. Предположим, что различным значениям x1 и x2 соответствуют различные значения y1 =f(x1), y2=f(x2). Тогда для любого yÎ Y $!xÎX:y=f(x), такое соответствие y® x называется обратной функцией и обозначается x=f -1(y).

Лемма. Обратная функция для строго монотонно возрастающей функции, будет строго монотонно возрастающей функцией. Обратная функция для строго монотонно убывающей функции, будет строго монотонно убывающей функцией.

Доказательство. Например, пусть f(x) монотонно возрастает. Если y1 ,y2 из области значений функции f(x) и y1 < y2 , то f -1(y1) £ f -1(y2). Действительно, если предположить противное: x1= f -1(y1) > x2= f -1(y2) , то из условия монотонного возрастания функции f(x) получим неравенство y1= f(x1) ³ f (x2)=y2 , что противоречит условию y1 < y2 . Аналогично доказывается, что обратная к монотонно убывающей функции является монотонно убывающей функцией.

Теорема ( существование обратной функции у монотонной ) Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: . Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Если y=f(x) строго монотонно возрастает на [a,b] и непрерывна там, то на Y=[f(a),f(b)] существует обратная функция и является непрерывной на этом множестве. Составим Математика решение задач уравнение высоты , проведенной из вершины на сторону как уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой . Аналитическая геометрия

Доказательство. Существование обратной функции следует из строгой монотонности. Кроме того, обратная функция также будет монотонной с областью значений [a,b]. Из критерия непрерывности монотонной функции следует ее непрерывность.

Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).

Применяя записанную выше формулу, получаем:

Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.

  Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:

и обозначить , то полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k.

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.

  По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание прямой через точку и направляющий вектор прямой.

 Определение. Каждый ненулевой вектор (a1, a2), компоненты которого удовлетворяют условию Аa1 + Вa2 = 0 называется направляющим вектором прямой

Ах + Ву + С = 0.

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач