Контур детали с элементами сопряжения
Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

Непрерывные функции

Критерий непрерывности монотонной функции.

Теорема. Для того, чтобы монотонная функция f(x) определенная на [a,b] была непрерывна на [a,b] необходимо и достаточно, чтобы множество значений f(x) заполняло целиком отрезок с концами f(a), f(b) (либо[f(a), f(b)] либо [f(b), f(a)]).

Доказательство.

Лемма. Для монотонно возрастающей на данном отрезке функции существуют: для "x0Î(a,b], и

 для "x0Î[a,b). Математика решение задач Непрерывность функции в точке

Доказательство леммы. Положим для некоторого x0Î(a,b], A=, тогда для "xÎ[a,x0):f(x)£A и для "e>0$ x¢Î[a,x0):A-e <f(x¢). Так как функция монотонно возрастает, то "xÎ(x¢,x0):A-e < f(x¢) £ f(x)£A. Таким образом, равенство  доказано.

Аналогично для предела справа . Для монотонно убывающей функции справедливо похожее утверждение.

Следствие 1. Монотонно убывающая на [a,b] функция имеет конечные односторонние пределы. Найти все лорановские разложения данной функции по степеням . Указать главную и правильную части ряда. Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Следствие 2. Монотонно убывающая (возрастающая) на [a,b] функция может иметь там лишь разрывы первого рода.

Доказательство критерия. Функцию будем предполагать монотонно возрастающей. Необходимость уже была доказана ранее ( пункт 4, следствие 2).

Достаточность. Предположим противное. В точке x0 имеется разрыв. Этот разрыв обязан быть разрывом первого рода и, следовательно, должно нарушаться одно из двух соотношений f(x0 - 0)= f(x0), f(x0)=f(x0+0). Пусть f(x0)¹f(x0+0). Так как функция возрастает, то это означает, что f(x0)<f(x0+0). По лемме f(x0+0)=. Имеем f(x)£ f(x0) при x £ x0, f(x0) < f(x0+0) £ f(x) при x > x0. Таким образом, значения между f(x0), f(x0+0) не достигаются, что противоречит условию теоремы.

Аналогично проводится доказательство в случае существования разрыва слева.

Замечание. Для монотонно убывающей функции доказательство проводится заменой f на –f.

 Пример. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(2, 2, 2), В(4, 0, 3),

С(0, 1, 0).

 

 (ед2).

 Пример. Доказать, что векторы , и  компланарны.

 , т.к. векторы линейно зависимы, то они компланарны.

  Пример. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах , если

(ед2).

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач