Резьбовые соединения труб Инженерная графика http://fistoe.ru/
Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

Непрерывные функции

Ограниченность непрерывной функции. Теоремы Вейерштрасса.

Лемма. Если {xn}Ì[a,b] и xn=x0, то x0Î[a.b]. Проверить, может ли функция быть действительной частью некоторой аналитической функции , если да – восстановить ее, при условии . Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Доказательство. Теорема о переходе к пределу в неравенствах.

Теорема 1(Первая теорема Вейерштрасса). Непрерывная на [a,b] функция f ограничена на [a,b].

Доказательство. Ограниченность: $M"xÎ[a,b]:|f(x)|£M. Отрицание "M$xÎ[a,b]:|f(x)|>M. В частности, "n$ xnÎ[a,b]:|f(xn)|>n. По теореме Больцано-Вейерштрасса найдется сходящаяся подпоследовательность {}® x0, x0Î[a,b]. Тогда, с одной стороны |f()|>nk, с другой стороны f()®f(x0).

Теорема 2. Непрерывная на [a,b] функция f(x) достигает своих точных верхней и точной нижней граней. Математика решение задач Предел и непрерывность функции

Доказательство. Пусть M= f(x), "n$ xn:M-1/n<f(xn)£M. Выберем сходящуюся подпоследовательность ®x0, x0Î[a,b], M-1/n<f()£M . Переходя к пределу в этих неравенствах при k®¥ получим требуемое равенство f(x0)=M.

Векторное произведение векторов.

  Определение. Векторным произведением векторов и  называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

1) , где j - угол между векторами и ,

2) вектор ортогонален векторам и

3) , и  образуют правую тройку векторов.

Обозначается:  или.

Свойства векторного произведения векторов:

1) ;

2) , если ïï или = 0 или = 0;

3) (m)´= ´(m) = m(´);

4) ´(+ ) = ´+ ´ ;

5) Если заданы векторы (xa, ya, za) и (xb, yb, zb) в декартовой прямоугольной системе координат с единичными векторами , то

 

´=

6) Геометрическим смыслом векторного произведения векторов является площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач