Пример. Исследовать сходимость интеграла http://ftoe.ru/
Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

Непрерывные функции

Простейшие свойства непрерывных функций

1) Сумма, разность и произведение двух непрерывных функций в точке является непрерывной функцией в этой точке. Определить вид кривой . Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Следствие: Сумма, разность и произведение двух непрерывных функций на множестве является непрерывной функцией на этом множестве.

2) Сохранение знака непрерывной функции: f(x0)>0Þ$U(x0):f(x)>.

3) Если f(x) непрерывна в точке x0, g(x) непрерывна в x0, g(x0)¹0, то функция  непрерывна в x0.

4) Функция |f(x)| непрерывна, если непрерывна f(x).

5) Суперпозиция непрерывных функций есть непрерывная функция. Математика решение задач Свойтва числовых множеств

Если f(x) определена в окрестности x0 и непрерывна в x0,

g(x) определена в окрестности t0 и непрерывна в t0, g(t0)=x0. Тогда в некоторой окрестности тоски t0 определена суперпозиция F(t)=f(g(t)) и F(t) непрерывна в t0.

Все перечисленные свойства являются непосредственным следствием соответствующих свойств пределов функций.

Классификация точек разрыва

Если f(x) не является непрерывной в точке x0, то x0 – точка разрыва. В этом случае говорят, что функция разрывная (разрывна) в точке x0 , или , функция претерпевает разрыв в точке x0 .

В дальнейшем будет предлагать, что f(x) определена в некоторой окрестности x0 (быть может, односторонней).

Опр. Если существуют конечные пределы

f(x0 - 0)f(x) и f(x0+0)f(x)

и f(x) разрывна в точке x0 , то такой разрыв называется разрывом первого рода. Если при этом f(x0 - 0)=f(x0+0), то разрыв называется устранимым.

Разрыв не первого рода называется разрывом второго рода.

Аналогично классифицируются разрывы для функции, определенной в полуокрестности точки. Например, пусть функция f(x) определена на отрезке [a,b].

  Она называется непрерывной справа в точке a , если f(a)= f(x). Если существует конечный предел f(a+0)f(x) и f(a)¹ f(a+0) , то такой разрыв называется разрывом первого рода (устранимым).

 Пример. Найти угол между векторами и , если

.

Т.е.  = (3, 4, 5), = (4, 5, -3)

×= 12 + 20 - 15 =17 :

.

cosj =

 Пример. При каком m векторы  и  перпендикулярны.

= (m, 1, 0); = (3, -3, -4)

.

 Пример. Найти скалярное произведение векторов  и , если

()() =

= 10 +

+ 27 + 51 + 135 + 72 + 252 = 547.

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач