Выполнение чертежа сборочной единицы http://fishelp.ru/
Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

Предел функции

Определение предела по Гейне Найти массу тела , ограниченного поверхностями: ; ; ; ; плотность массы тела . Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Вспомогательные определения.

Последовательностью типа Гейне {xn} при x® x0 (или в x0) заданной функции f(x) c областью определения X называется последовательность, удовлетворяющая следующим условиям

{xn}ÌX

xn ¹ x0

Математика решение задач Дифференцируемость ФНП

Последовательностью типа Гейне {xn} при x®x0 – 0 называется последовательность, удовлетворяющая следующим условиям

 

1) {xn}ÌX

2) xn<x0

3)

Последовательностью типа Гейне {xn} при x® x0+0 называется последовательность, удовлетворяющая следующим условиям

 

1) {xn}ÌX

2) xn>x0

3)

Последовательностью типа Гейне {xn} при x®¥ называется последовательность, удовлетворяющая следующим условиям

 

1) {xn}ÌX

2) ------

3) =¥

Последовательностью типа Гейне {xn} при x®+¥ называется последовательность, удовлетворяющая следующим условиям

 

1) {xn}ÌX

2) ------

3) =+¥

Последовательностью типа Гейне {xn} при x® -¥ называется последовательность, удовлетворяющая следующим условиям

 

1) {xn}ÌX

2) ------

3) =-¥

 

Определение предела по Гейне . Пусть f определена в проколотой окрестности a (число или символ), A - число или символ называется пределом f(x) при x® a по Гейне, если для любой последовательности типа Гейне при x®a будет выполнено

.

Предел слева, справа определяется аналогично. Меняется только тип последовательности Гейне.

Эквивалентность двух определений

Доказательство. Если  по определению Kоши , то   и по определению Гейне (общий случай: A, a – числа или символы).

Пусть  по Коши. Пусть {xk} последовательность типа Гейне при x®a. Для данной окрестности U(A) существует проколотая окрестность  такая, что (xÎÇX)Þ (f(x)ÎU(A)). (1)

Так как =a , то для U(a) существует N "n>N: xnÎ U(a). Поскольку xn ¹ a, то "n>N: xnÎ, следовательно "n>N : xnÎÇX откуда, согласно (1), будет выполнено f(xn)ÎU(A), т.е. .

Доказательство. Гейне Þ Kоши (частный случай, a и A - числа). Предположим противное $e0>0"d>0$ x,0<|x-a|<d:|f(x)-A|³e0 . Для dn=1/n будет существовать xn, 0<| xn-a|<1/n такое, что |f(xn)-A|³e0 . Построенная последовательность { xn } является последовательностью типа Гейне при x®a и, тогда по условию  , но это противоречит неравенству |f(xn)-A|³e0.

В случае символов это утверждение доказывается аналогично.

Замечание. Определение предела по Гейне позволяет переносить ранее доказанные свойства пределов последовательностей на пределы функций.

Докажем это для предела суммы двух функций.

Дано: Существуют пределы , . Пусть {xk} последовательность типа Гейне при x®a, тогда , . По свойству пределов последовательностей будет выполнено . Последнее означает, что .

 Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

Составим расширенную матрицу системы.

А* =

Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:

, откуда получаем: x3 = 2; x2 = 5; x1 = 1.

 Пример. Решить систему методом Гаусса.

Составим расширенную матрицу системы.

Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:

, откуда получаем: z = 3; y = 2; x = 1.

 Полученный ответ совпадает с ответом, полученным для данной системы методом Крамера и матричным методом.

 Для самостоятельного решения:

 Ответ: {1, 2, 3, 4}.

 При использовании компьютерной версии “Курса высшей математики” можно запустить программу, которая решит любую систему линейных уравнений 3- го порядка методом Крамера и методом Гаусса или систему 4 – го порядка методом Гаусса. Достаточно ввести только коэффициенты при переменных системы. Программа выдаст подробный отчет о ходе решения и результатах.

 В открывшемся окне выберите необходимый метод решения и следуйте имеющимся в программе указаниям.

Примечание: Для запуска программы необходимо чтобы на компьютере была установлена программа Maple (Ó Waterloo Maple Inc.) любой версии, начиная с MapleV Release 4.

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач