Решение задач по физике http://e3-bmstu.ru/
Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

Последовательности

Фундаментальная последовательность. Критерий Коши для последовательности.

Условие Коши:"e>0$N"n>N"p:|xn+p - xn|<e

Определение. Фундаментальною последовательностью называется последовательность, удовлетворяющая условию Коши.

Т. (Критерий Коши). Для того, чтобы последовательность {xn} сходилась необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальна. Примеры решения задач курслекций Односторонние производные функции в точке Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Доказательство: Необходимость. Последовательность сходится . Пусть e>0 . Для e¢=e/2$N"n>N:|xn -a|<e/2 для тех же n (n>N) и "p будет выполнено |xn+p -a|< e/2. Таким образом, для "n>N"p:|xn+p - xn|£ |xn+p - a|+|a - xn| < e/2+e/2=e.

  Достаточность. Пусть e >0. Для

e¢=e/2$N1"n>N1"p:|xn+p - xn|<e/2 (1)

Таким образом, все члены последовательности начиная с номера N1+1 оказались в окрестности числа  , следовательно, последовательность ограничена. По теореме Больцано-Вейерштрасса существует сходящаяся подпоследовательность , пусть . Для ранее выбранного e¢ Математика решение задач Теорема Вейерштрасса

 (2).

Выберем натуральное число m так, чтобы m >K и m > N1, тогда число N=nm будет больше N1 и, согласно (1)

"n>N:|xn - xN|<e/2 , (3)

с другой стороны из (2)

 (4)

Из (3), (4) получим, что при n >N будет выполнено

|xn-a|< ч.т.д. Разложить в ряд Лорана функцию в окрестности особой точки . Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Линейная зависимость векторов.

 Определение. Векторы  называются линейно зависимыми, если существует такая линейная комбинация , при не равных нулю одновременно ai , т.е. .

Если же только при ai = 0 выполняется , то векторы называются линейно независимыми.

  Свойство 1. Если среди векторов  есть нулевой вектор, то эти векторы линейно зависимы.

  Свойство 2. Если к системе линейно зависимых векторов добавить один или несколько векторов, то полученная система тоже будет линейно зависима.

 Свойство 3. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов раскладывается в линейную комбинацию остальных векторов.

 Свойство 4. Любые 2 коллинеарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 2 линейно зависимые векторы коллинеарны.

 Свойство 5. Любые 3 компланарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 3 линейно зависимые векторы компланарны.

 Свойство 6. Любые 4 вектора линейно зависимы.

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач