Математика Вычислить криволинейный интеграл пример
Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

Последовательности

Некоторые свойства последовательностей связанные со свойством непрерывности вещественных чисел

1.Подпоследовательность. Теорема Больцано-Вейерштрасса Замена переменной; интегрирование по частям Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Определение. Дана последовательность {xn} и последовательность натуральных чисел {nk}, 1£ n1<n2<…< nk <nk+1<…, тогда последовательность {yk}, называется подпоследовательностью последовательсти {xn}.

Пример:  xn= sin n, nk=2k, = sin 2k.

Замечание. Отметим, что из условия nk < nk+1 следует, что k ³ nk (индукция по k) .

Теорема 1. Если  (a - число или символ), то для любой ее подпоследовательности {yk}, ,будет .

Доказательство: Вне любой окрестности a содержится лишь конечное число членов {xn}, следовательно, и конечное число подпоследовательности {}. Дифференциальное исчисление функции одной переменной Интегральное исчисление - курс лекций

Теорема 2. (Больцано, Вейерштрасс) Из любой ограниченной последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. Пусть [a,b]É {xn}.

Разделим отрезок [a,b] пополам, обозначим [a1,b1] тот из полученных двух отрезков, который содержит бесконечно много членов последовательности {xn}. Возьмем какой-нибудь член последовательности, лежащий в [a1,b1], его индекс обозначим n1.

Разделим отрезок [a1,b1] пополам, обозначим [a2,b2] тот из полученных двух отрезков, который содержит бесконечно много членов последовательности {xn}. Возьмем какой-нибудь член последовательности, лежащий в [a2,b2] и имеющий индекс больший, чем n1, его индекс обозначим n2. Продолжая этот процесс, мы построим подпоследовательность . Система отрезков [ak,bk] представляет собой систему вложенных, стягивающихся к нулю отрезков ( bk-ak=(b-a)/2k). Общую точку обозначим c. Так как cÎ[ak,bk], то . Откуда следует, что  (Следствие 2 из Теоремы 4 §2).

Определение. Предел подпоследовательности называется частичным пределом (в том числе ±¥)

Замечание 1. Частичных пределов у последовательности может быть много. Математика решение задач Ряды и интеграл Фурье

Пример: Последовательность всех рациональных чисел {rn} имеет своим частичным пределом любое вещественное число.

Замечание 2. Для того, чтобы a (число или символ) было частичным пределом последовательности {xn} необходимо и достаточно, чтобы любая окрестность a содержала бесконечно много членов последовательности {xn}.

Следствие. Если некоторая окрестность a содержит конечное число членов последовательности, то a не является частичным пределом.

Замечание 3. У любой последовательности существует хотя бы один частичный предел (конечный или бесконечный)

Доказательство: Рассмотреть два случая: Ограниченная последовательность. В этом случае утверждение теоремы является следствием теоремы Больцано-Вейерштрасса. В случае неограниченной последовательности для выделения подпоследовательности имеющей пределом ¥ используется определение предела последовательности, имеющей несобственный предел. Например, пусть , тогда. Условие nk> nk-1 можно обеспечить используя то, что в любой окрестности +¥ имеется бесконечно много членов последовательности.

Базисный минор матрицы.

Ранг матрицы.

 Как было сказано выше, минором матрицы порядка s называется определитель матрицы, образованной из элементов исходной матрицы, находящихся на пересечении каких - либо выбранных s строк и s столбцов.

Определение. В матрице порядка m´n минор порядка r называется базисным, если он не равен нулю, а все миноры порядка r+1 и выше равны нулю, или не существуют вовсе, т.е. r совпадает с меньшим из чисел m или n.

Столбцы и строки матрицы, на которых стоит базисный минор, также называются базисными.

 В матрице может быть несколько различных базисных миноров, имеющих одинаковый порядок.

  Определение. Порядок базисного минора матрицы называется рангом матрицы и обозначается Rg А.

 Очень важным свойством элементарных преобразованийматриц является то, что они не изменяют ранг матрицы.

 Определение. Матрицы, полученные в результате элементарного преобразования, называются эквивалентными.

  Надо отметить, что равные матрицы и эвивалентные матрицы - понятия совершенно различные.

 Теорема. Наибольшее число линейно независимых столбцов в матрице равно числу линейно независимых строк.

 Т.к. элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы, то можно существенно упростить процесс нахождения ранга матрицы.

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач