Пример 3. Вычислить двойной интеграл
Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

Последовательности

Основные понятия, относящиеся к последовательностям

1. Ограниченная последовательность. Точная верхняя (нижняя) грань. Монотонные последовательности Предел функции Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Определение. Последовательность {an} определяется как отображение множества натуральных чисел в множество действительных чисел, {an}: n®an .

Ограниченность сверху. $ b "nÎN: an £ b. Такое b называется верхней гранью последовательности {an}. Таким образом, последовательность называется ограниченной сверху, если у ней существует хотя бы одна верхняя грань.

Ограниченность снизу. $a "nÎN: an ³ a. Существует нижняя грань.

Примеры решения задач курслекций Производная обратных функций Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Ограниченность. $c "nÎN: |an| £ c. Существуют верхняя и нижняя грани.

Примеры: {(-1)n}, sin n, 

Определение точной верхней грани. b = sup {xn}:

"nÎN: xn £ b ( b есть верхняя грань )

"e>0 $nÎN: xn > b - e ( никакое меньшее число не является верхней гранью )

Аналогично определяется inf.

Пример. Написать на кванторах утверждение b ¹ sup {xn}.

b ¹ sup {xn} означает отрицание b = sup {xn}. Таким образом, выполнено

или отрицание 1), или отрицание 2). Математика решение задач Вычислить интегралы

Другими словами:

или

$nÎN: xn > b

или

  2) $e>0"nÎN: xn £ b - e

Монотонно возрастающая последовательность {an} .

"nÎN: an £ an+1

Строго монотонно возрастающая последовательность {an}.

"nÎN: an < an+1.

Аналогично даются определения монотонных убывающих последовательностей.

 Пример. Найти решение системы уравнений:

D = = 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = -25 – 10 + 5 = -30;

D1 =  = (28 – 48) – (42 – 32) = -20 – 10 = -30.

x1 = D1/D = 1;

D2 =  = 5(28 – 48) – (16 – 56) = -100 + 40 = -60.

x2 = D2/D = 2;

D3 =  = 5( 32 – 42) + (16 – 56) = -50 – 40 = -90.

x3 = D3/D = 3.

 Как видно, результат совпадает с результатом, полученным выше матричным методом.

 Если система однородна, т.е. bi = 0, то при D¹0 система имеет единственное нулевое решение x1 = x2 = … = xn = 0.

При D = 0 система имеет бесконечное множество решений.

 Для самостоятельного решения:

; Ответ: x = 0; y = 0; z = -2.

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач