Баланс мощности в электрической цепи http://kursgm.ru/
Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

Верхняя и нижняя грани множества действительных чисел

Существование точной верхней грани у ограниченного сверху множества

Теорема 1. У непустого, ограниченного сверху множества существует точная верхняя грань.

Доказательство: Пусть b верхняя грань множества E и aÎE


Обозначим [a1,b1] правый из отрезков , имеющий непустое пересечение с E. Отметим свойства этого отрезка;

"xÎE: x £ b1 Раскрытие неопределенностей

EÇ[a1,b1] ¹ Æ

Эту процедуру повторим для [a1,b1], и т. д.

В результате получим последовательность вложенных отрезков [ak,bk], удовлетворяющих свойствам: Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике Предел последовательности Напомним для начала, что числовая последовательность – это бесконечный упорядоченный набор чисел. Члены последовательности можно пронумеровать, так что каждому натуральному значению n (1,2,3,…) соответствует член последовательности (а1, а2, а3,…)

"xÎE: x £ bk

EÇ[ak,bk] ¹ Æ

Доказательство этого проводится по индукции. Предположим, что построен отрезок [ak,bk] с указанными свойствами. Разделим его пополам точкой

 . Через [ak+1,bk+1] обозначим правый из отрезков , имеющий непустое пересечение с E. Полученный отрезок обладает свойствами 1), 2).

Длины этих отрезков bk - ak=(b - a)/2k стремятся к 0, поэтому существует единственное число c общее для всех этих отрезков. Это число является точной верхней гранью данного множества. Действительно:

1) "xÎE: x £ c Математика решение задач Вычислить производную

Предположим противное: $ xÎE:x>c, возьмем e = x - c,$n:bn - an<e=x - c, тогда bn - c £ bn - an < x - c Þ bn < x, что противоречит условию xÎ[an,bn].

2) "e>0 $xÎE: x > c - e

Для любого e $n: bn - an < e. Выберем какое либо xÎ[an,bn] . В силу свойства 1) будет выполнено x < c, кроме того c - x £ bn - an < e. Таким образом, найдено требуемое x.

Аналогично можно доказать, что у непустого ограниченного снизу множества существует точная нижняя грань.

Теорема 2. Точная верхняя грань (если она существует), единственна.

Доказательство: Пусть имеются две точных грани b2 , b1, b1< b2 . Положим e = b2 - b1 > 0, по определению точной верхней грани (для b2) $ xÎE: x > b2 - e = b1, что противоречит тому, что b1 верхняя грань.

Замечание.

  1. Точная нижняя грань единственна.

  2. Если E не ограничено сверху, то пишут sup E = +¥, аналогично если E не ограничено снизу, то пишут inf E = -¥.

Метод Крамера.

(Габриель Крамер (1704-1752) швейцарский математик)

 Данный метод также применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно независимы, т.е. ни одно уравнение не являлось бы линейной комбинацией остальных.

 Для этого необходимо, чтобы определитель матрицы системы не равнялся 0.

det A ¹ 0;

Действительно, если какое- либо уравнение системы есть линейная комбинация остальных, то если к элементам какой- либо строки прибавить элементы другой, умноженные на какое- либо число, с помощью линейных преобразований можно получить нулевую строку. Определитель в этом случае будет равен нулю.

Теорема. (Правило Крамера):

 Теорема. Система из n уравнений с n неизвестными

в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам:

xi = Di/D, где

D = det A, а Di – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов bi.

Di =

 Пример.

A = D1= D2= D3= ;

x1 = D1/detA;  x2 = D2/detA; x3 = D3/detA;

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач