Примеры решения задач по классической физике Примеры решения задач контрольной работы по физике Молекулярная физика и термодинамика Электростатика и постоянный ток Волновая оптика


ЗАКОНЫ НЬЮТОНА

Задача 2.2. На наклонной плоскости, образующей угол a с горизонтом находится тело массы m1, соединенное невесомой нерастяжимой нитью с телом массы m2. Нить перекинута через невесомый блок. Трения в блоке нет. Коэффициент трения между телом и плоскостью равен k. Найти ускорение, с которым движутся тела.

Решение. Изобразим силы, действующие на тела, предполагая, что m1 опускается, а m2 поднимается (рис. 2.4). Тогда сила трения направлена навстречу движению тела m1, т.е. вверх вдоль плоскости.

Рис. 2.4

Так как нить невесома и нерастяжима, ускорения обоих тел одинаковы, а сила натяжения нити одинакова вдоль всей длины нити (см. задачу 2.1).

Вводя систему координат X1OY1 с осью ОХ1, направленной вниз параллельно плоскости, напишем уравнения второго закона Ньютона для m1 в проекциях на оси ОХ1 и OY1:

m1a = m1g×sin a – T – Fтр, (1)

0 = m1g× cos a – N. (2)

Для второго тела удобно выбрать другую систему координат, такую, что ось OX2 направлена горизонтально, а ось OY2 направлена вертикально вверх. Тогда для т2а в проекции на ось OY2:

m2a = T – m2g. (3)

Уравнения (1)–(3) составляют систему трех уравнений для четырех неизвестных a, T, N, Fтр. Для получения однозначного решения требуется еще одно уравнение. Так как мы предполагаем, что тела движутся, то сила трения связана с нормальной компонентой силы реакции соотношением

Fтр = kN.

Это и есть четвёртое уравнение. Итак, имеем:

m1a = m1g×sin a – T – kN,

0 = m1g× cos a – N,

m2a = T – m2g.

Согласно второму уравнению системы

N = m1gcosa.

Подставляя найденное N в первое уравнение этой системы, и складывая первое и третье уравнения, получим

(m1+m2)a = m1g sina – m2g – km1g cos a.

Откуда найдём величину ускорения

 (4)

Так как мы получили ответ, предполагая, что тела движутся в положительных направлениях осей ОХ1 и OY2, то а > 0, откуда

m1 (sina – k cos a) > m2. (5)

Подчеркнем, что полученное неравенство – условие того, что m1 опускается.

Рассмотрим теперь обратный случай, когда m1 поднимается. Направления сил и координатных осей для этого случая изображены на рис. 2.5.

 

Рис. 2.5 

Записывая уравнения второго закона Ньютона для тел m1 и m2, получим

m1a = m1g×sin a – T – kN,

0 = m1g× cos a – N,

m2a = T – m2g.

Решая эту систему, найдём ускорение тел:

  (6)

Опять, требуя а > 0, получим условие того, что m1 поднимается:

m1 (sina + k cos a) < m2.

Итак:

если m1 (sina – k cos a) > m2 – тело m1 опускается,

если m1 (sina + k cos a) < m2 – тело m1 поднимается.

Ясно, что если нарушены оба эти условия, т.е.:

m1 (sina – k cos a) < m2 < m1 (sina + k cos a),  (7)

то m1 не будет ни подниматься, ни опускаться, т.е. при выполнении условия (7) тела будут покоиться. Заметим еще, что неравенство (5) имеет смысл лишь в случае, если sina – k cos a > 0, т.е:

tg a > k. (8)

Неравенство (8) – это условие того, что m1 вообще может опускаться. Если (8) нарушается, то даже при m2 = 0 тело m1 опускаться не будет, оно будет покоиться.

Примеры решения задач по физике