Примеры решения задач по классической физике Примеры решения задач контрольной работы по физике Молекулярная физика и термодинамика Электростатика и постоянный ток Волновая оптика

КОЛЕБАНИЯ

Задача 9.7. В одном из фантастических проектов предлагалось построить железнодорожный тоннель для скоростных поездов, которые бы двигались под действием одной только силы тяжести. Для этого тоннель, идущий под землёй должен быть прямым. Найдите время движения поезда от одного конца тоннеля до другого, пренебрегая всеми силами сопротивления.

Рис. 9.7

Решение. В задаче 2.8 была найдена сила тяготения, действующая на тело массы т, находящееся внутри Земли на расстоянии r от её центра: .

Выберем начало координат в середине тоннеля и проведём ось координат ОХ вдоль тоннеля (Рис. 9.7). Пусть поезд находится на расстоянии х от середины тоннеля. Тогда проекция силы тяжести на направление оси ОХ равна:

.

Как видим, эта сила пропорциональна расстоянию х между телом и центром тоннеля и направлена к центру тоннеля, т.е. к положению равновесия. Но такая сила приводит к гармоническим колебаниям тела с частотой:

.

Время движения поезда от одного кон­ца тоннеля до другого равно половине периода колебаний:

Задача 9.8. Оценить время соударения футбольного мяча со стенкой при слабом ударе.

Рис. 9.8

Решение.

Пусть избыточное давление внутри мяча равно р. При соприкосновении мяча со стенкой мяч деформируется, и область соприкосновения представляет собой круг. Пусть радиус этого круга в некоторый момент равен r, величина деформации, соответственно х. Тогда эти величины связаны между собой (рис. 9.8):

.

Здесь мы использовали условие слабого удара: |x|<<R.

Площадь круга, в пределах которого мяч соприкасается со стенкой, равна:

S = pr2 = 2pRx.

Сила давления со стороны мяча на стенку равна pS. Согласно третьему закону Ньютона с такой же силой, стенка действует на мяч:

F = – 2pRрx.

Как видим, сила является квазиупругой, поэтому движение мяча во время соприкосновения со стенкой будет гармоническим колебанием.

Время удара t равно половине периода этого колебания:

.

Принимая массу мяча т = 0,4 кг, радиус R = 12 см, избыточное давление внутри мяча р = 104 Па (0,1 атм), найдём

Рис. 9.9

Примеры решения задач по физике