Примеры решения задач по классической физике Примеры решения задач контрольной работы по физике Молекулярная физика и термодинамика Электростатика и постоянный ток Волновая оптика

КОЛЕБАНИЯ

Колебательное движение отличает большая или меньшая степень повторяемости. Предельная полная повторяемость – это периодический процесс, зависимости характеристик которого от времени описываются периодическими функциями вида , где   Т – период.

Особую роль в физике играет периодическое движение, в котором координаты тела изменяются со временем по закону

x(t) = A cos (wt + j), (9.1)

где А, w, j – некоторые константы (причем А и w положительные). Такое движение называется гармоническими колебаниями. Причина такой «особости» гармонических колебаний в том, что всякий периодический процесс можно представить как сумму (возможно, бесконечную) гармонических колебаний.

Величина А называется амплитудой гармонических колебаний, она определяет размах колебаний: |x(t)| £ A, w – частота колебаний, связана с их периодом T соотношением:

  (9.2)

Аргумент косинуса wt + j называется фазой колебания, j – начальная фаза (в момент t = 0).

Скорость и ускорение тела , совершающего гармонические колебания, также изменяются по гармоническому закону:

  (9.3)

Последнее из уравнений показывает, что сила Fх = ma, действующая на тело, совершающее гармонические колебания, зависит от координат тела:

Fх = – mw2x,

или, обозначая k = mw2:

Fх = – k x. (9.4)

Силы такого типа принято называть квазиупругими (т.е. похожими на упругие). Результат (9.4) можно трактовать иначе: если Fx = – kх, то собственная частота колебаний тела связана с массой тела m и коэффициентом k следующим образом:

.

Зависимость потенциальной энергии тела U(x), совершающего гармонические колебания, от координаты тела х получается из (9.4):

Второе из соотношений (3) можно записать в виде:

(9.5)

Это уравнение называют уравнением гармонических колебаний, решением которого, как видим, является (9.1). Отметим, что частота колебаний определяется коэффициентом при х, а что касается амплитуды и начальной фазы колебаний, то они определяются начальным положением тела и его начальной скоростью.

Так как сила, действующая на тело, совершающее гармонические колебания, консервативна, то при гармонических колебаниях справедлив закон сохранения энергии:

Если продифференцировать это уравнение по времени, то вновь придём к уравнению гармонических колебаний. Этот способ вывода уравнения колебаний часто используется в задачах.

Поскольку энергия сохраняется, то найдя её в момент наибольшего отклонения тела от положения равновесия, когда х = А, получим  

Как видим, энергия пропорциональна квадрату амплитуды колебаний.

При наличии силы трения, пропорциональной скорости υ тела, Fтр = – aυ,  уравнение колебаний имеет вид:

  (9.6)

где 2b = a/m – величина, характеризующая силу трения и называемая коэффициентом затухания. Решение уравнения (6) имеет вид:

  (9.7)

Как видим, такое движение тела можно приближенно рассматривать как гармоническое колебание с экспоненциально уменьшающейся амплитудой. В точном смысле такой процесс не является ни гармоническим колебанием, ни периодическим процессом. Такие колебания называют затухающими. Частота затухающих колебаний W оказывается несколько меньше, чем в отсутствие трения, что вполне понятно, поскольку трение замедляет движение тела.

Если кроме силы (9.3) и силы трения на тело действует еще и внешняя гармоническая сила F(t) = F0 cosgt, то уравнение движения тела имеет вид:

.

Движение, которое будет совершать тело в данном случае, представляет собой сумму (суперпозицию) колебаний: затухающего и вынужденного, т.е. вызванного внешней силой. По истечении достаточно большого времени после начала колебаний (bt >> 1) затухающие колебания прекратятся, и тело будет совершать гармонические колебания с частотой внешней силы g и амплитудой, зависящей от величины внешней силы и её частоты:

.

Отметим, что энергия установившегося вынужденного колебания постоянна, хотя колеблющееся тело непрерывно поглощает энергию (от источника внешней силы), которая превращается в тепло благодаря наличию трения.

Если изменять частоту внешней силы g, то будет изменяться и амплитуда вынужденных колебаний, причем она имеет максимум при частоте внешней силы wрез:

.

Явление возрастания амплитуды вынужденных колебаний при частоте внешней силы, совпадающей с резонансной частотой wрез, называется резонансом.

Материальная точка, подвешенная на невесомой и нерастяжимой нити, называется математическим маятником. Частота его малых колебаний определяется лишь длиной маятника и ускорением свободного падения:

где l – длина нити.

Твердое тело, совершающее колебания в вертикальной плоскости вокруг неподвижной точки или горизонтальной оси под действием силы тяжести, называется физическим маятником. Частота его малых колебаний: 

где m – масса тела, d – расстояние от оси вращения до центра масс тела, I – момент инерции тела относительно оси вращения.

Период колебаний физического маятника совпадает с периодом колебаний математического, если длина последнего lпривед определяется следующим равенством:

Ее называют приведенной длиной физического маятника.

Примеры решения задач по физике