Примеры решения задач по классической физике Примеры решения задач контрольной работы по физике Молекулярная физика и термодинамика Электростатика и постоянный ток Волновая оптика

ДВИЖЕНИЕ ТЕЛ В НЕИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ ОТСЧЕТА. СИЛЫ ИНЕРЦИИ

Задача 8.2. Брусок А движется с ускорением а по горизонтальной поверхности. На бруске А лежит другой брусок B, высота которого h, а длина – l (рис. 8.5). Брусок В упирается левой своей гранью в небольшой выступ на поверхности бруска А. При каких значениях ускорения а брусок В не будет опрокидываться? Решить задачу как с точки зрения неподвижного наблюдателя K, так и с точки зрения наблюдателя K', движущегося вместе с бруском А.

Решение. Рассмотрим сначала решение задачи в неинерциальной системе отсчета, связанной с бруском А (с точки зрения наблюдателя K').

На брусок В действуют сила тяжести mg, сила со стороны уступа Q, и сила реакции N со стороны горизонтальной поверхности бруска А, сила инерции – та. Предположим, что брусок В не опрокидывается тогда в выбранной системе отсчета он покоится.

Условия равновесия бруска состоят в равенстве нулю суммы сил, действующих на брусок, и равенстве нулю суммы моментов этих сил. Первое из этих двух условий в проекциях на координатные оси (рис. 8.6) дает систему уравнений:

Для записи второго условия необходимо указать точки приложения сил, действующих на брусок. Точка приложения силы тяжести находится в центре инерции бруска. В этой же точке приложена сила инерции – та. Это утверждение основано на том, что в данном случае поле сил инерции полностью эквивалентно полю сил тяжести (оба поля однородны, силы в обоих полях пропорциональны массе тела). Поэтому и точки приложения соответствующих сил совпадают. Пусть точка приложения силы N находится на расстоянии х от середины бруска (рис.8.6).Условие равенства нулю суммы моментов справедливо относительно любой оси, если сумма сил равна нулю (что выполняется в нашем случае). Удобнее всего выбрать ось, проходящую через центр инерции бруска, перпендикулярно плоскости чертежа. (Почему эта ось наиболее удобна? Объясните сами.). При таком выборе оси, мы получаем следующее уравнение моментов:

Из выписанных уравнений находим

Рис. 8.6

Полученный результат показывает, что х растет с ростом а, т.е. точка приложения силы N смещается в сторону выступа (влево на рис. 8.6). Но поскольку х < l/2, так как точка приложения силы N не может располагаться за пределами бруска В, то получаем

Окончательно находим:

.

Рассмотрим теперь решение задачи в инерциальной системе отсчета (с точки зрения неподвижного наблюдателя К). По отношению к наблюдателю K, брусок В движется поступательно в горизонтальном направлении с ускорением а под действием сил Q, N и mg (см. рис. 8.6). Поэтому

ma = Q + mg + N.

Проецируя это уравнение на координатные оси, получаем:

Учтем теперь, что движение бруска В поступательное. Поэтому можно утверждать, что относительно горизонтальной оси, проходящей через центр инерции бруска, момент импульса бруска L0 равен нулю (брусок не вращается). Можно выбрать также любую другую ось, но тогда уравнение моментов усложнится. Попробуйте решить задачу, выбрав ось, проходящую вдоль выступа. Учтите только, что момент импульса твердого тела, вообще говоря, определяется теоремой Кёнига (см. введение к п. 6):

L = L0 + [R,P].

Поскольку dL0/dt = М, где М – момент сил, действующих на брусок относительно указанной оси, а L0 = 0, то dL0/dt = 0 и, соответственно, М = 0. Момент сил, действующих на брусок В относительно данной оси определяется лишь силами Q и N, так как сила тяжести приложена к оси и поэтому ее момент равен нулю. Поэтому для момента М имеем:

Так как М = 0, то для х получаем:

Поскольку х < l/2, то вновь получаем прежнее условие, при котором брусок В не отрывается от опоры:

.

Полученному ответу можно дать наглядную геометрическую интерпретацию. А именно, брусок В оторвется от опоры (это произойдет, когда ), если равнодействующая сил Q и N будет проходить ниже центра тяжести бруска В. Убедитесь в этом самостоятельно. Учтите только, что при отрыве бруска В сила N приложена к краю бруска, который соприкасается с выступом.

 

Задача 8.3. Из центра вращающейся карусели радиуса R, по мишени, установленной на краю карусели в точке А производится выстрел. Найти отклонение пули от мишени, если угловая скорость вращения карусели равна w, скорость пули –V. При расчете принять wR << V.

Рис. 8.7

Решение. Рассмотрим движение пули относительно инерциальной системы отсчета, связанной с землей (рис. 8.7). Относительно земли пуля движется прямолинейно со скоростью V, поэтому она долетит от центра до края карусели за время t > R/V. Но за это же время карусель повернется на угол j = wt = wR/V, и попадёт не в точку А, а точку В, причем угол между радиусами ОА и ОВ равен, как видим, углу поворота карусели j. Расстояние по краю карусели между точками А и В:

Рассмотрим теперь движение пули в системе отсчёта, связанной с каруселью. Эта система отсчета неинерциальная, поэтому на пулю в процессе ее движения действуют центробежная сила

Fцб = mw2r,

и сила Кориолиса

Fк = 2m[V',w].

Поскольку, согласно условию, wR<<V, то Fцб/Fк ~ wR/V<< 1, то влиянием центробежной силы, ввиду ее малости по сравнению с силой Кориолиса, мы полностью пренебрежём.

Сила Кориолиса направлена перпендикулярно скорости пули V', поэтому она будет вызывать отклонение пули вбок. Поскольку, согласно условию задачи выполняется сильное неравенство wR<<V, которое означает, что карусель вращается сравнительно медленно. Поэтому сила Кориолиса оказывает слабое возмущающее воздействие на движение пули. Но это означает, что если представить скорость пули V' в виде:

V' = V + V1,

где V – начальная скорость пули, а V1 – поправка к скорости, вызванная силой Кориолиса, то V1<<V. Поэтому в выражении для силы Кориолиса Fк = 2т[V',w], можно с хорошей точностью заменить V' на V. Такая замена, мало изменяя Fк, упрощает задачу, поскольку сила Кориолиса оказывается теперь постоянной, соответственно, оказывается постоянным и вызванное ею ускорение ак = 2[V,w].

Интегрируя по времени соотношение dV'/dt = aк, получим с учетом того, что в начальный момент V' = V:

V' = V + aКt.

Полученное соотношение показывает, что в радиальном направлении (направлении выстрела) пуля движется с постоянной скоростью V, а в перпендикулярном направлении ее скорость линейно возрастает со временем. Интегрируя по времени соотношение dr'/dt=V', с учетом выражения для V' получим:

Первое слагаемое в полученном выражении представляет собой перемещение пули в направлении выстрела, второе – в боковом направлении.

Пуля долетит до края карусели через время t = R/V. За это же время пуля отклонится вбок на расстояние

В нашем случае aК = 2Vw, поэтому:

что полностью совпадает с прежним результатом. Поделив s на R, получим угол, на который отклонится пуля от первоначального направления за время полета:

 

Рис. 2

Согласно условию задачи

 

поэтому пуля отклоняется на малый угол. Это показывает, что использованное нами соображение о малости влияния силы Кориолиса подтверждается окончательным результатом.

Примеры решения задач по физике