Примеры решения задач по классической физике Примеры решения задач контрольной работы по физике Молекулярная физика и термодинамика Электростатика и постоянный ток Волновая оптика

ДВИЖЕНИЕ ТЕЛ В НЕИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ ОТСЧЕТА. СИЛЫ ИНЕРЦИИ

В ряде случаев решение задач динамики удобнее производить, рассматривая движение тел относительно неинерциальных систем отсчета, т.е. таких систем отсчета, которые движутся ускоренно относительно инерциальной системы отсчета.

Рис. 8.1

Пусть К – исходная, неподвижная (наша лабораторная) инерциальная система отсчета. Рассмотрим также систему К', которая движется относительно К. Движение системы К ' можно представить как вращение с угловой скоростью w вокруг оси, которая в свою очередь, движется относительно К. Начало отсчета в К ' выберем на оси вращения (рис. 8.1). Тогда для точки т:

V = V0 + [w,r'] +V',

где V0 скорость начала отсчета системы К ' (точки O ' на рис. 8.1) относительно К, а V и V' скорость точки m относительно К и, соответственно, К '

Если ограничиться случаем, когда вектор угловой скорости w вращения системы К ' остаётся постоянным, то имеет место соотношение между ускорением частицы а по отношению к системе отсчёта К и её же ускорением а' по отношению к системе отсчёта К ':

.

Здесь а0 ускорение начала отсчета системы К ' (точки O ' на рис. 1) относительно К, а а и а' ускорение точки m относительно К и, соответственно, К '

Умножая обе части последнего соотношения на массу частицы m, и учитывая, что относительно К справедлив второй закон Ньютона

ma = F,

получим

.

Это уравнение есть основное уравнение динамики в неинерциальной системе отсчета. Как видим, а' вообще говоря, отлично от нуля даже в случае F = 0, т.е. когда тело не взаимодействует с другими телами. Мы видим, таким образом, что ускоренное движение системы отсчета эквивалентно появлению сил инерции.

Первая из сил инерции (–ma0) связана с ускоренным поступательным движением неинерциальной системы отсчета. Как видим, такое движение системы отсчета, в смысле своего влияния на уравнение движения тела эквивалентно появлению однородного силового поля, причем сила, действующая в этом поле, равна произведению массы тела на ускорение системы отсчета а0 и направлена в противоположную этому ускорению сторону.

Рис. 8.2

Сила 2т[V',w] называется силой Кориолиса. Ее особенность состоит в том, что она зависит от скорости частицы V' относительно К'. Сила Кориолиса перпендикулярна вектору скорости частицы V' относительно К' и, следовательно, не совершает над ней работы.

Последняя сила т[w,[r',w]] называется центробежной. Нетрудно заметить, что ее можно записать в виде mw2R, где R – вектор, проведенный перпендикулярно оси вращения к точке т (рис. 8.2). Центробежная сила потенциальна, т.е. ее можно записать в виде

FR = – dUцб/dR,

где FR  – проекция Fцб на направление вектора R. Uцб можно назвать центробежной потенциальной энергией, а сама эта энергия равна

Задача 8.1. На тележке, движущейся прямолинейно по горизонтальной поверхности с ускорением a укреплен штатив, к которому на невесомой нити подвешен маленький тяжелый шарик. Найти угол отклонения нити с шариком от вертикали. Решить задачу как с точки зрения неподвижного наблюдателя K, так и наблюдателя K', движущегося вместе с тележкой.

Рис. 8.3

Решение. Рассмотрим сначала движение шарика относительно неподвижного наблюдателя (рис. 8.3). Это движение происходит в горизонтальном направлении с ускорением а. При этом на шарик действуют две силы: сила тяжести mg и натяжения нити N. Запишем уравнение второго закона Ньютона в проекциях на горизонтальное и вертикальное направления:

ma = N sina,

0 = N cosa – mg.

Исключив отсюда N, получим

Рис. 8.4

Рассмотрим теперь движение шарика относительно наблюдателя K', движущегося вместе с тележкой (рис. 8.4). Шарик относительно тележки покоится, но поскольку система отсчета K', связанная с тележкой, неинерциальна, то условие равновесия шарика надо рассматривать с учетом сил инерции. Тележка движется поступательно, поэтому на шарик действует сила инерции, равная –та. Кроме нее, на шарик действуют также сила тяжести mg и сила натяжения нити N. Сумма этих трех сил должна быть равна нулю, так как шарик в выбранной нами системе отсчета покоится. Записывая условия равновесия шарика в проекциях на горизонтальное и вертикальное направления, получим систему уравнений:

0 = N sina – ma,

0 = N cosa – mg.

Исключив отсюда N, получим:

Как видим, решение этой задачи каждым из двух рассмотренных здесь способов совершенно одинаково. Это относится ко многим задачам механики, но не следует думать, что переход к неинерциальным системам отсчета не дает преимуществ никогда. В ряде задач такой переход сильно упрощает решение.

Рис. 8.5

Примеры решения задач по физике