Примеры решения задач по классической физике Примеры решения задач контрольной работы по физике Молекулярная физика и термодинамика Электростатика и постоянный ток Волновая оптика


КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Задача 1.4. Зависимость координат частицы от времени имеет вид x = b×cos wt, y = b×sin wt (где b>0 и w>0 – константы). Найти радиус-вектор r(t), скорость v(t), ускорение a(t), а также их модули, скалярные произведения и объяснить полученный результат. Найти также траекторию частицы и направление ее движения по траектории.

Решение. Согласно определению

r(t) = x×ex + y×ey = b×cos wt×ex + b×sin wt×ey

Найдем модули векторов r, v и а:

Найдём теперь скалярные произведения (r, v) и (r, a):

(r, v) = x×υx + y×υy = b×cos wt×(– b×sin wt) + b×sin wt× b×cos wt = 0,

(r, a) = – w2 (r, r) = b2×w2.

Как видим, векторы r и v взаимно перпендикулярны.

Поскольку а = –wr, то а и r направлены в противоположные стороны, причем вектор ускорения а направлен к началу координат. Траекторию можно определить двумя способами.

способ 1. Так как координата частицы z = 0 всё время и r = b = = const, то траектория лежит в плоскости XOY и представляет собой окружность радиуса b с центром в начале координат.

способ 2. Так как х = b×cos wt, у = b×sin wt, то х2 + у2 = b2.

Мы получили уравнение окружности радиуса R = b с центром в начале координат.

Рис. 1.8

Найдем направление движения частицы. При t = 0 частица находится в точке с координатами х = b, у = 0 и имеет скорость:

v(0) = υx(0)×ex + υy(0)×ey = 0×ex +bw×ey,

направленную вдоль оси OY, т.е. движение происходит против часовой стрелки (рис. 1.8).

Если b < 0, то направление движения изменяется на противоположное.

Задача 1.5. Колесо радиуса R катится без скольжения со скоростью υ. В начальный момент t = 0 координаты точки на ободе колеса х = 0 и y = 0. Найти закон движения этой точки, изобразить её траекторию и указать направления скорости и ускорения.

Решение. За время t после начала движения центр колеса сместится на расстояние Vt, а само колесо повернётся вокруг оси на некоторый угол j. Точка колеса А, которая в начальный момент находилась в начале координат, повернётся вместе с колесом. Угол j поворота колеса связан с перемещением центра колеса очевидным соотношением (рис. 1.9), являющимся следствием, предполагаемого в условии, отсутствия скольжения:

Vt = Rj.  (1)

Рис. 1.9

Проще всего этот результат получить, если представить, что на обод колеса намотана лента, конец которой закреплён в начале координат. Если колесо откатится вправо на расстояние s = = Vt, то с колеса смотается кусок ленты также длины s = Vt. С другой стороны, этот кусок ленты, будучи намотан на обод колеса, представляет собой дугу окружности, концы которой видны из центра колеса под углом j = s/R. Этот результат и доказывает справедливость (1).

Координаты точки А, как следует из рис. 1.9, равны:

x = R(j – sin j ), y = R(1 – cos j), j = Vt/R.

Кривая, задаваемая этими соотношениями, называется циклоидой. Она изображена на рис. 1.10.

 

Рис. 1.10

Из найденного закона движения легко найти компоненты вектора v скорости точки A:

В те моменты времени, когда y = 0, т.е. точка А оказывается в нижнем положении (j = 0, 2p, 4p, …), её скорость становится равной нулю. Что не удивительно, так как по условию проскальзывание отсутствует, отсутствие скольжения было "заложено" в соотношение (1) выше.

Подумайте сами, как изменится вид траектории, если колесо скользит. Здесь возможны два случая: скорость точки касания колеса с землёй направлена навстречу оси ОХ (так движутся ведущие колеса автомобиля при езде на скользкой дороге) или, наоборот, скорость точки касания направлена вперёд, т.е. в направлении оси ОХ. Это случай экстренного торможения автомобиля, когда он скользит по дороге.

Что касается направления вектора v скорости точки А, то этот вектор направлен из точки А в точку С, находящуюся в данный момент на самом верху колеса. Действительно, проведём из точки B касания колеса с осью ОХ в точку А вектор r. Его проекции на оси ОХ и ОY составляют:

rx = x – Vt = – R sinj,

ry = y = R(1 – cosj).

Этот вектор r ортогонален вектору v скорости точки А, поскольку скалярное произведение этих векторов равно нулю:

(r,v) = rxυx + ry υy = – R sinj×V×(1 – cosj) + R×(1 – cosj)×V sinj = 0.

Вектор r – есть катет АВ прямоугольного треугольника АВС. Поскольку всякий прямоугольный треугольник, вписанный в окружность, имеет гипотенузой диаметр этой окружности, то ВС – диаметр колеса. Но точка В есть самая нижняя точка колеса, следовательно, С – самая верхняя его точка.

Этот результат можно получить и без вычислений, если заметить, что скорость точки соприкосновения колеса с осью ОХ равна нулю, поскольку колесо не скользит. Но это означает, что колесо в данный момент времени вращается вокруг этой точки. Следовательно, вектор скорости точки А направлен перпендикулярно радиус-вектору r. Всё остальное вытекает из этого факта.

Продифференцировав компоненты скорости по времени, найдём компоненты ускорения:

Нетрудно понять, что ускорение точки в любой момент времени направлено к центру колеса. Проще всего это сделать, перейдя в систему отсчёта, которая равномерно движется вместе с осью колеса. В этой системе отсчёта точка А движется равномерно со скоростью V по неподвижной окружности радиуса R. Тем самым, ускорение точки А есть центростремительное ускорение, направленное к центру колеса.

Вычисления очень просты. В этой системе отсчёта компонента скорости υy остаётся неизменной, а υx уменьшается на V:

Дифференцируя по времени, найдём компоненты ускорения:

Сравнивая компоненты ускорения с проекциями радиуса-вектора R:

Rx = x – Rj = –R sin j,

Ry = y – R = –Rcos j,

видим, что проекции этих векторов пропорциональны друг другу и отличаются знаками, т.е. вектор ускорения направлен навстречу вектору R (см. рис. 1.10).

Примеры решения задач по физике