Примеры решения задач по классической физике Примеры решения задач контрольной работы по физике Молекулярная физика и термодинамика Электростатика и постоянный ток Волновая оптика

ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

Задача 7.11. На гладкой горизонтальной плоскости находится стержень длины l и массы m. Первоначально он стоял вертикально, а затем начал падать. Считая, что стержень начал падать из состояния покоя, определить траекторию, по которой будет двигаться центр инерции стержня, а также скорость его центра инерции в момент удара стержня о плоскость.

Решение. На стержень действуют две силы: сила тяжести mg и сила реакции плоскости N (рис. 7.11). Уравнение движения центра инерции стержня имеет вид

таци = mg + N.

Так как силы mg и N направлены вертикально, то и вектор аци также направлен вертикально вниз. Поскольку начальная скорость стержня равна нулю, то скорость центра инерции также имеет вертикальное направление. Отсюда следует, что центр инерции стержня движется вертикально вниз. Для нахождения скорости центра инерции в момент удара воспользуемся законом сохранения энергии. В начальный момент стержень покоился, поэтому его энергия была равна потенциальной энергии:

Е1 = mghци,

Рис. 7.11

где hци = l/2 – высота, на которой первоначально находился центр инерции стержня. В момент удара о плоскость потенциальная энергия равна нулю и энергия стержня равна его кинетической энергии:

E2 = Iw2/2,

где I – момент инерции стержня относительно мгновенной оси вращения.

В случае падающего стержня мы знаем направления движения центра инерции и конца стержня, скользящего по плоскости. Центр инерции, как мы установили, движется вертикально вниз, а конец стержня (точка А на рис. 7.11) – вдоль плоскости, т.е. его скорость VA направлена горизонтально. Положение мгновенной оси вращения изображено на рисунке: она проходит через точку О перпендикулярно плоскости чертежа. Нетрудно понять, что в момент удара стержня о плоскость, мгновенная ось вращения будет проходить через нижний конец стержня (точку А). Поэтому момент инерции стержня в этот момент времени согласно теореме Штейнера равен

Таким образом, согласно закону сохранения энергии получаем

Откуда

Скорость центра инерции в этот момент равна wl/2, т.е.

Задача 7.12. Стержень массы m и длины l лежит своими концами на двух опорах (рис. 7.12). В некоторый момент одну из опор выбивают. Найти в этот момент силу реакции второй опоры.

Решение. Сразу после удаления опоры на стержень действуют две силы: тяжести – mg и реакции второй опоры – N. Под действием этих сил стержень начинает вращаться вокруг точки касания с оставшейся опорой. Выпишем систему уравнений динамики, описывающих движение стержня:

Рис. 7.12

Первое из уравнений представляет собой уравнение второго закона Ньютона для центра инерции стержня в проекции на вертикальное направление (направление силы тяжести). Второе – уравнение моментов относительно оси вращения стержня, которая проходит перпендикулярно плоскости чертежа через точку соприкосновения стержня с опорой. Сила реакции N направлена вертикально, поскольку в начальный момент стержень ещё не изменил своего горизонтального положения.

Во втором уравнении ml2/3 – момент инерции стержня относительно оси вращения, mg(l/2) – момент силы тяжести относительно оси вращения, V – скорость центра инерции стержня. Кроме того следует учесть, что , так как движением стержня является вращение вокруг точки касания с опорой. Дифференцируя это равенство по времени, получим

.

Таким образом, получаем следующую систему уравнений:

Откуда находим

Ответ довольно неожиданный. На первый взгляд, кажется, что N должна быть не меньше, чем mg/2, так как до удаления опоры на каждую из них приходилось по mg/2, а после удаления стержень давит лишь на одну опору. Попытайтесь самостоятельно объяснить этот "парадокс".

 

Задача 7.13. Шар массы m и радиуса R раскрутили вокруг его горизонтальной оси до угловой скорости w0 и опустили на горизонтальную плоскость. С какой скоростью покатится шар, после того, как проскальзывание прекратится?

Решение. Задача допускает различные способы решения. Рассмотрим два из них.

Способ 1. В процессе движения на шар действуют три силы (рис. 7.13): тяжести тg, нормальная компонента силы реакции плоскости N и сила трения Fтр. Нетрудно понять, что пока шар катится с проскальзыванием, сила трения направлена вперед (поясните это утверждение самостоятельно).

Составим систему уравнений, описывающих движение шара:

  Рис. 7.13

Первые два уравнения – проекции уравнения движения центра инерции шара на горизонтальное и вертикальное направления, третье – уравнение моментов, причём моменты вычисляются относительно оси вращения шара. Знак минус в правой части этого уравнения отражает то обстоятельство, что сила трения замедляет вращение шара. Но так как сила трения одновременно и ускоряет центр инерции шара, то в первом уравнении она стоит со знаком плюс. Последнее уравнение справедливо лишь до тех пор, пока шар движется с проскальзыванием, т.е. пока Fтр – сила трения скольжения. Исключая из этих уравнений силу N, находим Fтр = kmg, и с учетом этого получаем уравнения для V и w:

Откуда после интегрирования по времени при заданных начальных условиях получаем

Зная V и w, найдем V ' – скорость точки соприкосновения шара с плоскостью:

Как видим, V ' < 0 при достаточно малых t, что соответствует движению шара с проскальзыванием. Проскальзывание прекращается в тот момент, когда V ' = 0, откуда и находим соответствующее значение t:

а затем скорость центра инерции шара и его угловую скорость в этот момент:

Для однородного шара:

Интересно, что конечные скорости совершенно не зависят от величины коэффициента трения.

Способ 2. Этот метод основан на применении теоремы Кенига для момента импульса системы точек:

L = [Rци,P] + L0,

где L0 – момент импульса системы точек относительно ее центра масс, Rци – радиус-вектор центра инерции системы, Р – импульс системы. В нашем случае система точек – это шар, который вращается (в системе отсчета, в которой центр шара покоится) вокруг своего диаметра, т.е. вокруг главной оси инерции, поэтому L0 = Iw, где I – момент инерции шара относительно его диаметра.

Рассмотрим момент импульса шара относительно точки касания шара с плоскостью в начальный момент времени (Рис. 7.14). Нетрудно видеть, что сумма моментов сил, действующих на шар, относительно этой точки равна нулю. Действительно, сила тяжести и сила реакции опоры направлены вдоль одной прямой и их сумма равна нулю, поэтому и сумма моментов этих сил равна нулю.

Рис. 7.14

Сила трения коллинеарна радиус-вектору r её точки приложения, поэтому её момент также равен нулю. Таким образом, в силу уравнения моментов, момент импульса шара относительно точки О остаётся постоянным. Но в начальный момент времени импульс шара равен нулю, поэтому величина момента была равна L = Iw0. В последующие моменты времени его величина находится с помощью теоремы Кёнига для момента импульса системы точек:

L = [Rци,P] + L0,

L = RциmVsina + Iw = RmV + Iw.

Итак,

Iw0= RmV + Iw.

После того, как скольжение прекратится, скорость точки касания шара с плоскостью станет равной нулю:

V – wR = 0,

откуда  и

Рис. 7.15

Примеры решения задач по физике