Примеры решения задач по классической физике Примеры решения задач контрольной работы по физике Молекулярная физика и термодинамика Электростатика и постоянный ток Волновая оптика

ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

Задача 7.8. Стержень массы m движется так, что его концы скользят по двум сторонам пря­мого угла. Найти кинетическую энергию стержня в тот момент, когда он образует угол a с одной из сторон угла, а его конец, движущийся по этой стороне, имеет скорость V.

Решение. Проще всего решить задачу, если воспользоваться понятием мгновенной оси вращения. В данном случае эту ось легко отыскать. Поскольку направления скоростей концов стержня известны, то, проводя через эти концы перпендикуляры к векторам скоростей, найдём точку их пересечения О' (рис. 7.8). Через эту точку и проходит мгновенная ось вращения, поскольку при вращении твёрдого тела вектор скорости любой его точки направлен перпендикулярно радиусу окружности, по которой эта точка движется. Угловая скорость w вращения стержня связана со скоростью V его конца А соотношением

V = w×O’A = w×l×sina,

откуда находим угловую скорость

.

Кинетическая энергия Т стержня:

Рис. 7.8

где его момент инерции I относительно мгновенной оси вращения найдём по теореме Штейнера:

Окончательно:

 

Задача 7.9. На однородный сплошной цилиндр радиуса R и массы М намотана невесомая нерастяжимая нить, к концу которой подвешен груз массы m. В момент t = 0 система пришла в движение. Определить ускорение, с которым опускается груз и силу натяжения нити. Трением в оси вращения цилиндра пренебречь.

Рис. 7.9

Решение. Изобразим силы, действующие на тела системы (рис. 7.9). На груз действуют две силы: тяжести и сила натяжения нити Т. Из сил, действующих на цилиндр, рассмотрим лишь силу натяжения нити, которая вызывает вращение. Уравнение движения груза в проекции на ось ОХ имеет вид:

ma = mg – T,

а уравнение движения цилиндра в проекции на ось цилиндра (уравнение моментов относительно оси цилиндра) имеет вид:

,

где I – момент инерции цилиндра относительно его оси, T×R – момент силы Т относительно оси цилиндра. Система уравнений содержит три неизвестных величины: a, w и Т, поэтому необходимо еще одно уравнение. В качестве него можно использовать уравнение, связывающее скорость груза и линейную скорость точек поверхности цилиндра. Эти скорости равны, так как нить нерастяжима и не скользит по поверхности цилиндра. Итак,

wR = υ.

Дифференцируя это равенство по времени, получим:

.

Заменив во втором уравнении системы dw/dt на a/R и учтя, что момент инерции однородного цилиндра относительно его оси равен MR2/2, получим

Примеры решения задач по физике