Примеры решения задач по классической физике Примеры решения задач контрольной работы по физике Молекулярная физика и термодинамика Электростатика и постоянный ток Волновая оптика

ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

Задача 7.1. Докажите, что при поступательном движении твёрдого тела все его точки движутся с одинаковыми скоростями.

Решение. Выберем в теле произвольным образом две точки – А и В (рис. 7.4). Обозначим их радиус-векторы rA и rВ, а вектор, соединяющий их, обозначим как R. Тогда:

rВ = rA + R.

Дифференцируя это равенство по времени (дифференцирование по времени обозначаем точкой), получим:

.

Рис. 7.4

Но вектор R – постоянный вектор, так как, ни его длина, ни направление не изменяются. Действительно, расстояния между точками твёрдого тела неизменны, поэтому длина вектора R также неизменна. Кроме того, тело движется поступательно, поэтому направление вектора R также не изменяется, значит, и производная вектора R равна нулю, тем самым:

т.е. скорости выбранных нами точек одинаковы. Но в силу произвольности выбора этих точек все точки тела имеют такие же скорости.

Задача 7.2. Докажите, что кинетическую энергию твёрдого тела в самом общем случае можно представить в виде:

,

где Vци – скорость центра инерции твердого тела, IС – момент инерции твёрдого тела относительно оси вращения, проходящей через центр инерции твердого тела, w – угловая скорость вращения твёрдого тела.

Решение. Согласно теореме Кёнига кинетическую энергию твёрдого тела можно представить как

Здесь M – масса тела, Vци – скорость его центра инерции, Т0 – кинетическая энергия тела в системе отсчета, движущейся со скоростью центра инерции. Но в этой системе отсчёта центр инерции неподвижен. Следовательно, движение твёрдого тела в этой системе отсчёта есть вращение вокруг оси, проходящей через центр инерции тела, и кинетическая энергия такого движения равна

где IС – момент инерции тела относительно оси вращения, проходящей через центр инерции тела, а w – угловая скорость вращения твёрдого тела.

Тем самым утверждение доказано.

Рис. 7.5

 

Задача 7.3. Докажите, что кинетическая энергия твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, связана с вектором момента импульса L этого тела и вектором угловой скорости w его вращения по формуле

Полюс, относительно которого определяется момент импульса, выбран на оси вращения тела.

Решение. Вектор момента импульса твердого тела определяется как сумма моментов "точек" этого тела:

Преобразуем двойное векторное произведение под знаком суммы с помощью известного тождества:

[a,[b,c]] = b(a,c) – c(a,b).

Эта формула показывает, что направления векторов L и w, вообще говоря, не совпадают, поскольку в самом общем случае сумма  представляет собой вектор, направление которого не обязано совпадать с направлением вектора угловой скорости.

Умножим теперь обе части полученного выражения скалярно на вектор w:

Здесь вектор Ri перпендикулярен оси вращения тела и направлен в точку Dmi (см. Рис. 7.5), а Iz – момент инерции тела относительно оси вращения OZ.

Поделив обе части полученного соотношения на 2, придём к искомому результату:

Поскольку Твращ > 0, то угол между вектором момента импульса L и вектором угловой скорости w может быть только острым. Полученный результат можно записать несколько иначе, имея в виду, что :

Здесь Lz – проекция момента импульса тела на направление оси вращения OZ. Сократив обе части полученного равенства на w/2, получим

Lz = Izw.

Как видим, момент импульса тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на угловую скорость вращения вокруг этой оси.

Задача 7.4. Докажите, что кинетическая энергия твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, связана с проекциями вектора угловой скорости w на главные оси твёрдого тела и с моментами инерции относительно главных осей по формуле

Решение. Согласно результату предыдущей задачи, кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела связана с его моментом импульса:

Если выбрать какие-либо оси координат, связанные с этим телом, то тогда:

Вообще говоря, каждая проекция момента импульса зависит от всех трёх проекций угловой скорости на оси координат. Однако если в качестве системы координат выбрать систему, оси которой являются главными осями тела, то, согласно свойствам этих осей:

Тем самым:

Примеры решения задач по физике