Примеры решения задач по классической физике Примеры решения задач контрольной работы по физике Молекулярная физика и термодинамика Электростатика и постоянный ток Волновая оптика

МОМЕНТ ИМПУЛЬСА СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК. УРАВНЕНИЕ МОМЕНТОВ

Задача 6.6. При каких условиях метеорит, движущийся вдали от Земли со скоростью V0, может упасть на поверхность Земли? Влиянием других небесных тел пренебречь.

Решение.

Очевидно, падение метеорита на Землю возможно, если минимальное расстояние, на котором проходит его траектория от центра Земли не превышает радиуса Земли (рис. 6.11).

 Рис. 6.11

При движении тела в центральном поле его момент импульса относительно центра этого поля остаётся неизменным:

mV0r = mV1R, (1)

где R – радиус Земли, r – прицельное расстояние метеорита относительно центра Земли, V0 и V1 – скорости метеорита соответственно вдали и вблизи Земли.

Помимо закона сохранения момента импульса, в данной задаче мы можем воспользоваться ещё и законом сохранения энергии, поскольку поле тяготения является консервативным полем. Потенциальную энергию тела в поле тяготения найдём из закона всемирного тяготения:

Здесь т и М – масса тела и, соответственно, масса того небесного тела, в поле тяготения которого это тело движется, G – постоянная всемирного тяготения, r – расстояние между телами, Fr – проекция силы тяготения на радиальное направление. Воспользовавшись соотношением между силой и потенциальной энергией, найдём после интегрирования по dr:

Здесь мы положили постоянную интегрирования равной нулю, что соответствует выбору потенциальной энергии, равной нулю на бесконечном удалении от небесного тела (сравните с задачей 5.1). Записывая выражение для энергии метеорита вдали от Земли и в точке касания её поверхности, получим:

Потенциальную энергию при выбранной выше её нормировке можно записать как mgR, поскольку сила тяготения, действующая на тело, находящееся на поверхности Земли, равна mg:

Тем самым уравнение закона сохранения энергии запишем в виде

откуда найдём

Воспользовавшись законом сохранения момента импульса (1), получим с учётом найденной нами скорости V1:

.

Заметим, что 2mgR = V22 , где V2 – вторая космическая скорость. Тем самым:

.

Вторая космическая скорость V2 для Земли составляет 11,2 км/с, а скорость метеоритов V0 обычно заметно больше, её величина около 30 км/с. Поэтому чтобы метеорит мог упасть на поверхность Земли, его прицельное расстояние должно быть не больше радиуса Земли. А вот для Юпитера, вторая космическая скорость которого более чем в 5 раз превосходит вторую космическую скорость для Земли, прицельное расстояние оказывается приблизительно в 2,5 раза больше радиуса Юпитера, что приблизительно в 25–30 раз больше радиуса Земли. Количество падающих на планету метеоритов пропорционально, очевидно, площади круга, радиус которого равен прицельному расстоянию, т.е. пропорционально квадрату прицельного расстояния. Тем самым, на Юпитер падает почти в 1000 раз больше метеоритов, чем на Землю.

Примеры решения задач по физике