Примеры решения задач по классической физике Примеры решения задач контрольной работы по физике Молекулярная физика и термодинамика Электростатика и постоянный ток Волновая оптика

МОМЕНТ ИМПУЛЬСА СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК. УРАВНЕНИЕ МОМЕНТОВ

Задача 6.2. На гладкой горизонтальной плоскости лежат две небольшие одинаковые шайбы массы m каждая. Шайбы соединены друг с другом невесомой пружиной длины l0 и жесткости k. В некоторый момент времени одной из шайб сообщили скорость v0 вгоризонтальном направлении, перпендикулярно пружине (Рис. 6.6). Найти максимальное относительное удлинение пружины в процессе движения, если известно, что оно значительно меньше единицы.

Решение. Поскольку шайбы движутся по гладкой горизонтальной плоскости, то сумма внешних сил – силы тяжести и силы реакции стола, действующих на каждую шайбу, равна нулю, поэтому такая система ведет себя как замкнутая, и в ней сохраняются импульс и момент импульса. Кроме того, в системе действуют лишь консервативные силы (силы упругости пружины), поэтому сохраняется ее энергия.

Рис. 6.6

Этих трёх законов сохранения достаточно, чтобы решить задачу. Удобнее всего делать это в системе отсчета, связанной с центром инерции. В этой системе отсчета сумма импульсов шайб равна нулю, откуда следует, что в любой момент времени скорости шайб равны по величине и направлены в противоположные стороны. Начальные скорости шайб относительно плоскости равны соответственно v0 и нулю. Поэтому скорость центра инерции:

Скорости шайб по отношению к центру инерции равны, соответственно:

Причем скорости v1 и v2 направлены перпендикулярно пружине.

Так как в начальный момент времени пружина не деформирована, то энергия системы относительно ее центра инерции определяется в этот момент лишь кинетической энергией частиц:

Момент импульса L1 системы шайб относительно центра инерции в этот же момент времени равен:

Когда пружина окажется максимально растянутой, скорости шайб опять будут направлены перпендикулярно пружине, иначе шайбы удалялись или приближались бы друг к другу, т.е. длина пружины либо увеличивалась, либо уменьшалась бы, но в любом случае не была бы в этот момент максимальной. Если обозначить величину скорости шайб в этот момент через υ', длину пружины в этот момент через l', то

В выражении для энергии второе слагаемое представляет собой потенциальную энергию растянутой на длину l' – l0 пружины.

В силу законов сохранения энергии и момента импульса получаем

Выразив новую скорость шайб υ¢ из второго из этих уравнений, и подставив её в первое уравнение, найдём

откуда приходим к уравнению

После сокращения обеих частей уравнения на l’– l0 получим

а учитывая малую величину удлинения пружины (l'– l0 << l0), приходим к ответу:

Из полученного ответа видно, что удлинение пружины будет малым, если выполнено неравенство:

Рис. 6.6

Задача 6.3. По гладкой горизонтальной плоскости движется небольшое тело массой m, привязанное к невесомой нерастяжимой нити, другой конец которой втягивают в отверстие O (рис. 6.6) с постоянной скоростью u. Найти угловую скорость тела в зависимости от расстояния r тела до отверстия, если в начальный момент оно находилось на расстоянии r0, а угловая скорость нити была равна w0. Найти силу натяжения нити N как функцию расстояния r тела до отверстия О и площадь, которую опишет тело за один оборот.

Рис. 6.7

Решение. Поскольку сила тяжести, действующая на шарик, уравновешивается силой реакции стола, а момент силы N натяжения нити относительно точки O равен нулю, то момент импульса тела L относительно точки О сохраняется. Запишем выражение для момента импульса тела:

L = [r,p] = m[r,v].

Разложим скорость тела v на две составляющие: v' – поперек направления нити и u – вдоль нити (рис. 6.7):

v = v' + u.

Так как векторное произведение [r,u] = 0, то:

L = m[r, v' + u] = m[r, v'].

Поскольку υ¢ = wr, где w – угловая скорость, и векторы r и v' взаимно ортогональны, то величина момента:

L = mrυ¢ = mr2w.

Поскольку L = const, а в начальный момент w = w0, r = r0, то:

mr2w = mr02w0,

откуда:

.

Для нахождения величины силы натяжения нити N удобнее всего воспользоваться соотношением между скоростью изменения кинетической энергии тела Т и мощностью Р, действующих на него сил:

В нашем случае

поэтому

поскольку u = const.

Так как , то:

Производная dr/dt – это проекция скорости тела на направление нити (радиальное направление), и поскольку нить укорачивается, т.е. тело приближается к отверстию со скоростью u, то dr/dt = –u.

Окончательно:

Для мощности имеем:

P = (N,v) = (N,u + v') = (N,u) + (N,v') = (N,u) = Nu.

Здесь мы учли, что N и v' взаимно ортогональны, а N и u направлены в одну и ту же сторону вдоль нити. Итак, получаем:

Рис. 6.8

Найдём теперь площадь S фигуры, которую опишет тело за один оборот (она затенена на рис. 6.8). Для этого найдём площадь dS треугольника (он заштрихован на рис. 6.8), которую опишет нить за малый промежуток времени dt. Для этого учтём, что величина dS этой площади может быть записана как половина модуля векторного произведения радиус-вектора r и вектора перемещения ds = vdt:

где L – величина момента импульса.

Так как L = const, то искомая площадь

где t – время одного оборота тела вокруг точки О.

Осталось найти это время. Для этого учтём, что за один оборот нить повернётся на угол 2p. С другой стороны, угол поворота dj за малый промежуток времени dt равен произведению wdt. Угловая скорость найдена ранее:

.

Проинтегрировав это равенство по периоду, найдём:

Примеры решения задач по физике