Примеры решения задач по классической физике Примеры решения задач контрольной работы по физике Молекулярная физика и термодинамика Электростатика и постоянный ток Волновая оптика

ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ В СТАЦИОНАРНЫХ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЯХ.

ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ

При решении задач этого раздела необходимо помнить следующие основные положения.

В физике во многих случаях удобно описывать взаимодействие тел посредством силового поля. Силовое поле – это область пространства, в каждой точке которой, на тело, находящееся в ней, действует сила. Если эти силы не зависят от времени, то такое поле называется стационарным. В дальнейшем мы будем рассматривать только стационарные поля.

Если работа сил, действующих на тело со стороны поля, не зависит от формы траектории тела, а определяется лишь его начальным и конечным положениями, то поле называется потенциальным, а силы, действующие в нем, – потенциальными.

В силу независимости работы потенциальных сил от формы траектории эту работу можно записать в виде убыли потенциальной энергии тела:

Здесь 1 и 2 начальная и конечная точки траектории, U1 и U2 значения потенциальной энергии тела в точках 1 и 2.

Связь между силой и потенциальной энергией дается соотношением:

где Fs – проекция силы на направление, характеризуемое вектором ds, dU/ds – производная потенциальной энергий вдоль направления ds. Знак минус в этом соотношении есть следствие того, что потенциальная энергия вводится так, чтобы сила в потенциальном поле была направлена в сторону убыли потенциальной энергии (см. соотношение п.4).

Механической энергией тела Е называется величина равная сумме его кинетической Т и потенциальной энергий U:

E = T+U.

Если тело движется в стационарном потенциальном поле, то механическая энергия тела остается постоянной. Это утверждение носит название закона сохранения механической энергии.

Стационарные потенциальные поля называют также консервативными полями, а силы, действующие в таких полях – консервативными силами. Это название связано с тем, что такие силы не изменяют, т.е. сохраняют (to conserve – сохранять), механическую энергию тела.

Если на тело действуют также и неконсервативные силы, то закон сохранения энергии, вообще говоря, не имеет места. А именно, если тело перешло из точки 1 в точку 2, то приращение его механической энергии определяется работой неконсервативных сил вдоль траектории движения тела:

Задача 5.1. Потенциальная энергия частицы имеет вид: a)b)  c) U = bx, где a, b, k – константы, r – модуль радиус-вектора r частицы (; х, y, z – декартовы координаты частицы). Найти силу, действующую на частицу, и работу А, совершаемую над частицей силами поля при переходе частицы из точки с координатами (1, 2, 3) в точку (2, 3, 4).

Решение. Как известно,  поэтому получим соответственно:

a)  

b) Fr = – kr.

Далее, поскольку потенциальная энергия зависит лишь от r, то при перемещении в направлении, перпендикулярном радиальному, она не будет изменяться, а поэтому производные от нее по любому направлению, перпендикулярному r, будут равны нулю. Поэтому в обоих случаях, как а), так и б), силы имеют ненулевую проекцию лишь на радиальное направление, т.е. сила F параллельна радиус-вектору r, поэтому можно написать:

откуда:

В случае c) имеем: Fx= – b, Fy = 0, Fy = 0, т.е. сила направлена в положительном направлении оси ОХ при b < 0 и в отрицательном при b > 0. Этот результат можно записать в виде:

F = – b,

где вектор b имеет проекции:

bx = b, by = 0, bz = 0.

Чтобы найти работу А вспоминаем, что в потенциальном поле:

Откуда

c) A = b×1 – b×2 = – b.

Задача 5.2. Небольшой шарик подвешен к концу невесомого стержня длины L, который может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через другой его конец. С какой скоростью следует толкнуть шарик, чтобы он совершил полный оборот в вертикальной плоскости? Как изменится ответ, если шарик подвешен на нити?

Решение. Задача решается с помощью закона сохранения энергии. Правда, прежде чем применить его, следует выяснить, действительно ли работает этот закон в данном случае. Для этого вспоминаем, что закон сохранения энергии, вообще говоря, нарушается, если на тело действуют неконсервативные силы. В данном случае на шарик действуют две силы: сила тяжести (она консервативна) и сила реакции стержня. Вторая сила неконсервативна, так как зависит, помимо всего прочего, от скорости шарика. Однако наличие неконсервативной силы нарушает закон сохранения энергии лишь в случае, когда работа этой силы отлична от нуля, так как

.

В данном случае сила реакции N стержня в каждый момент времени направлена перпендикулярно скорости v шарика, поэтому ее мощность равна нулю:

P = (N,v)=0.

Рис. 5.1

Таким образом, эта сила работы не совершает, и энергия сохраняется. Очевидно, что наиболее "опасной" точкой является верхняя точка траектории, т.е. точка 2 на рис. 5.1. Если шарик пройдет эту точку, то он совершит полный оборот, поэтому, если шарик подвешен на стержне, то скорость его в точке 2 не может быть меньше нуля.

Итак, согласно закону сохранения энергии получаем

откуда

Потенциальная энергия материальной точки в поле тяжести равна mgh, где h – высота, на которой находится эта точка, то

U­2 – U­1 = mg(h2 – h1) = 2mgL,

так как разность высот шарика в точках 1 и 2 равняется 2L.

Таким образом, получаем, что:

.

Итак, если шарик подвешен на стержне, то скорость, с которой его следует толкнуть, чтобы он совершил полный оборот, равна

.

Для шарика, подвешенного на нити, справедливы все приведенные выше рассуждения, кроме одного: скорость шарика в верхней точке траектории не может быть слишком малой, а тем более нулевой – нить всё время должна быть натянута. Найдем минимальное значение скорости шарика в точке 2. Для этого учтем, что в этой точке обе силы, действующие на шарик, – и сила тяжести, и сила натяжения нити – направлены в одну сторону вдоль нити, т.е. перпендикулярно скорости шарика. Поэтому ускорение шарика также направлено перпендикулярно скорости, т.е. оказывается нормальным ускорением:

.

В силу второго закона Ньютона можем написать в точке 2 уравнение:

man = mg +N.

Отсюда с учетом выражения для ускорения в точке 2, получаем, что

Очевидно, что для нити N > 0 (почему, подумайте сами), поэтому:

.

Опять, используя закон сохранения энергии, получаем:

Окончательно можем написать:

Примеры решения задач по физике